2014-辽宁卷理-20 解-椭圆与双曲线的标准方程

本题导读

本题是解析几何综合大题，考查了圆的切线背景下的面积最值问题、双曲线与椭圆方程的求解，以及直线与椭圆相交形成的圆学性质转化。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 圆 $x^2+y^2=4$ 的切线与 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 $P$（如图）.

双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 过点 $P$ 且离心率为 $\sqrt{3}$.

(1) 求 $C_1$ 的方程；

(2) 椭圆 $C_2$ 过点 $P$ 且与 $C_1$ 有相同的焦点，直线 $l$ 过 $C_2$ 的右焦点且与 $C_2$ 交于 $A,B$ 两点，若以线段 $AB$ 为直径的圆心过点 $P$，求 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一阶段：确定点 $P$ 坐标
   • 设切点 $P(x_0,y_0)$，则切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=4$。
   • 求出切线与坐标轴的截距，表示出三角形面积 $S$。
   • 利用基本不等式 $x_0^2+y_0^2=4\ge 2x_0{y}_0$ 寻找面积最小的临界条件。
2. 第二阶段：求双曲线 $C_1$ 方程
   • 代入 $P$ 坐标及离心率公式 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=3$，解方程组求出 $a,b$。
3. 第三阶段：求直线 $l$ 的方程
   • 求椭圆 $C_2$：利用共焦点性质设方程，代入点 $P$ 求解。
   • 直径性质转化：若以 $AB$ 为直径的圆过点 $P$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$。
   • 联立求解：设直线 $l$ 方程，联立椭圆方程利用韦达定理代入向量数量积公式求解斜率。

✅【答案】

点击查看答案

故 $C_1:x^2-\frac{y^2}{2}=1$。；故直线 $l$ 方程为 $x-(\frac{3\sqrt{6}}{2}-1)y-\sqrt{3}=0$ 或 $x+(\frac{3\sqrt{6}}{2}-1)y-\sqrt{3}=0$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 设切点 $P(x_0,y_0)$ ($x_0>0,y_0>0$)。 则切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=4$。令 $y=0,x=\frac{4}{x_0}$；令 $x=0,y=\frac{4}{y_0}$。 三角形面积 $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{x_0}\cdot \frac{4}{y_0}=\frac{8}{x_0{y}_0}$。 由 $x_0^2+y_0^2=4\ge 2x_0{y}_0$ 得 $x_0{y}_0\le 2$，当且仅当 $x_0=y_0=\sqrt{2}$ 时取等号。 此时 $S$ 最小，故 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$。

对于 $C_1$：$e^2=\frac{a^2+b^2}{a^2}=3⟹b^2=2a^2$。 代入 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$：$\frac{2}{a^2}-\frac{2}{2a^2}=1⟹\frac{1}{a^2}=1⟹a^2=1,b^2=2$。 故 $C_1:x^2-\frac{y^2}{2}=1$。

(2) 解： 由(1)知 $C_1$ 的焦点为 $(-\sqrt{3},0),(\sqrt{3},0)$。 设椭圆 $C_2:\frac{x^2}{3+b_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$。 代入 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$：$\frac{2}{3+b_1^2}+\frac{2}{b_1^2}=1⟹b_1^4+b_1^2-6=0⟹b_1^2=2$ 或 $-3$（舍）。 故 $C_2:\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{2}=1$。焦点 $F(\sqrt{3},0)$。 (注：原解析此处 $C_2$ 方程计算结果为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。我们遵循其计算思路：$C_2$ 过 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$，$c^2=3$。则 $a^2-b^2=3⟹a^2=b^2+3$。代入得 $\frac{2}{b^2+3}+\frac{2}{b^2}=1⟹2b^2+2b^2+6=b^4+3b^2⟹b^4-b^2-6=0⟹b^2=3,a^2=6$。故 $C_2:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$。)

设直线 $l:x=my+\sqrt{3}$。联立 $C_2$: $(m^2+2)y^2+2\sqrt{3}my-3=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{3}m}{m^2+2},y_1{y}_2=-\frac{3}{m^2+2}$。 $x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{m^2+2}$，$x_1{x}_2=m^2{y}_1{y}_2+\sqrt{3}m(y_1+y_2)+3=\frac{6-6m^2}{m^2+2}$。 以 $AB$ 为直径的圆过 $P(\sqrt{2},\sqrt{2})$ $⟺\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$: $(x_1-\sqrt{2})(x_2-\sqrt{2})+(y_1-\sqrt{2})(y_2-\sqrt{2})=0$ $x_1{x}_2-\sqrt{2}(x_1+x_2)+y_1{y}_2-\sqrt{2}(y_1+y_2)+4=0$ 将韦达定理代入整理得：$2m^2-2\sqrt{6}m+4\sqrt{6}-11=0$。 解得 $m=\frac{3\sqrt{6}}{2}-1$ 或 $m=-\frac{3\sqrt{6}}{2}+1$。 故直线 $l$ 方程为 $x-(\frac{3\sqrt{6}}{2}-1)y-\sqrt{3}=0$ 或 $x+(\frac{3\sqrt{6}}{2}-1)y-\sqrt{3}=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆切线方程的性质、双曲线与椭圆定义、直线与圆锥曲线的交点性质。

2. 核心方法：向量转化法。将“圆过定点”或“直径”条件转化为向量数量积为零。

3. 避坑指南：第一问中利用基本不等式求最值时，必须检验等号成立条件。第二问联立方程后，韦达定理的代入化简是整题计算量的集中点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点差法在处理中点弦问题中的应用。

2. 结论推广: 圆 $x^2+y^2=r^2$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程为 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$。

3. 方法推广: 向量转化法。将“圆过定点”或“直径”条件转化为向量数量积为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-10 填-双曲线标准方程
• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程