2008-辽宁卷文-20 解-等比数列商与求和

本题导读

(1)$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{s}{r}$（公比之比），是等比数列；(2)$r=4$、$s=16$、$b_1=8$，$c_n=4^n$，前 $n$ 项和 $\frac{4(4^n-1)}{3}=\frac{4^{n+1}-4}{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，设 $c_n=\frac{b_n}{a_n}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）．

(1)数列 $\{c_n\}$ 是否为等比数列？证明你的结论；

(2)设数列 $\{\ln a_n\}$，$\{\ln b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$，$T_n$，若 $a_1=2$，$\frac{S_n}{T_n}=\frac{n}{2n+1}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和．

🔍【思路分析】

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(1)等比数列的商仍是等比数列，直接算 $\frac{c_{n+1}}{c_n}$ 是否与 $n$ 无关. (2)取对数把”积”变”和”，$\{\ln a_n\}$ 是等差数列；由前 $n$ 项和之比为 $\frac{n}{2n+1}$ 反解公比关系，再套等比数列求和.

✅【答案】

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(1)是等比数列（证明见解析）；(2)前 $n$ 项和为 $\frac{4^{n+1}-4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的公比分别为 $r$、$s$，因各项均为正数，$r>0$，$s>0$．则 $\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{b_{n+1}/a_{n+1}}{b_n/a_n}=\frac{b_{n+1}}{b_n}\cdot \frac{a_n}{a_{n+1}}=s\cdot \frac{1}{r}=\frac{s}{r}$，与 $n$ 无关，所以 $\{c_n\}$ 是等比数列，公比为 $\frac{s}{r}$． (2)由 $a_1=2$，可设 $a_n=2r^{n-1}$，$b_n=b_1{s}^{n-1}$．记 $L=\ln 2$，$\alpha =\ln r$，$\beta =\ln s$，$u=\ln b_1$，则 $S_n=nL+\frac{n(n-1)}{2}\alpha$，$T_n=nu+\frac{n(n-1)}{2}\beta$． 由题设 $\frac{S_n}{T_n}=\frac{n}{2n+1}$，分别取 $n=1,2,3$：$\frac{L}{u}=\frac{1}{3}$，$\frac{2L+\alpha }{2u+\beta }=\frac{2}{5}$，$\frac{3L+3\alpha }{3u+3\beta }=\frac{3}{7}$． 由第一式 $u=3L$，后两式分别化为 $5\alpha -2\beta =2L$，$7\alpha -3\beta =2L$，相减得 $2\alpha -\beta =0$，即 $\beta =2\alpha$，代入得 $\alpha =2L$，从而 $\beta =4L$，故 $r=4$，$s=16$，且 $b_1=8$． 于是 $c_n=\frac{8\cdot 16^{n-1}}{2\cdot 4^{n-1}}=4^n$，所以 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $\sum _{k=1}^n{c}_k=4+4^2+\cdots +4^n=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4^{n+1}-4}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的商与对数化求和

核心方法：证 $\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{s}{r}$ 与 $n$ 无关；取对数把等比化等差，用前 $n$ 项和之比反解公比

避坑指南：$\{\ln a_n\}$ 是等差数列，前 $n$ 项和 $S_n=nL+\frac{n(n-1)}{2}\alpha$，别写成等比求和；$c_n=4^n$ 求和 $\frac{4(4^n-1)}{3}$，别漏首项 $4$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材等比数列性质与对数化

结论推广：等比数列的商仍等比（公比为两公比之比）；取对数把等比化等差，利用前 $n$ 项和之比定参数

方法推广：正项等比数列取对数得等差数列是常用转化；前 $n$ 项和之比为 $\frac{n}{2n+1}$ 可逐项反解参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-14 填-等比数列基本量
• 2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项