2013-辽宁卷文-14 填-等比数列基本量

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前项和。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，$S_n$ 是 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_1$，$a_3$ 是方程 $x^2-5x+4=0$ 的两个根，则 $S_6=$ 　　.

🔍【思路分析】

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1. 两根 $1,4$；递增 → $a_1=1$，$a_3=4$。
2. $q^2=4$，$q>0$ → $q=2$。
3. $S_6=\frac{2^6-1}{2-1}=63$。

✅【答案】

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$63$

✍【详细解析】

Abstract

$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0$，两根为 $1$，$4$。 由 $\{a_n\}$ 递增且 $a_1,a_3$ 为这两根：$a_1=1$，$a_3=4$。 $a_3=a_1{q}^2$：$q^2=4$，$q=\pm 2$；若 $q=-2$，数列为 $1,-2,4,\cdots$ 正负交错，不递增，舍；故 $q=2$。 $S_6=\frac{1\times (2^6-1)}{2-1}=63.$ 验证：$1+2+4+8+16+32=63$ ✓。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量（方程两根 + 递增）

核心方法：$\{a_1,a_3\}=\{1,4\}$，递增 → $a_1=1$，$a_3=4$，$q^2=4$ 且 $q>1$ → $q=2$；$S_6=\frac{2^6-1}{2-1}=63$

避坑指南：两根 1、4 谁当 $a_1$ 谁当 $a_3$ 由递增定：$a_1=1$、$a_3=4$；$q^2=4$ 有 $q=\pm 2$，递增等比还要 $q>0$（若 $a_1>0$）——$q=-2$ 时数列正负交错不递增，务必舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量法（韦达定理 + 递增取舍）。

结论推广：基本量法；两根分配。

方法推广：解方程定 $a_1,a_3$ → 按递增分配并定 $q$ → 套求和公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和
• 2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和