2008-辽宁卷理-11 单-立体几何

本题导读

本题考查立体几何中空间直线的位置关系。核心考查意图在于突破常规几何直观，通过空间中与三条两两异面的直线相交的直线的存在性判定，考查空间想象能力与代数解析分析能力。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E,F$ 分别为棱 $A{A}_1,C{C}_1$ 的中点，则在空间中与三条直线 $A_1{D}_1,EF,CD$ 都相交的直线 ()

A. 不存在　　B. 有且只有两条　　C. 有且只有三条　　D. 有无数条

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系，将三条空间直线用参数方程或坐标点集表示。
2. 设相交直线分别与 $A_1{D}_1$ 和 $CD$ 交于动点 $P$ 和 $Q$，则通过该两点的直线上的点可以用参数表示。
3. 分析该直线是否必然与第三条直线 $EF$ 产生交点，并求出满足条件的交点个数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为原点，$\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D{D}_1}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1。 各关键点坐标为：$D(0,0,0)$, $C(0,1,0)$, $A_1(1,0,1)$, $D_1(0,0,1)$, $A(1,0,0)$, $C_1(0,1,1)$。 因为 $E,F$ 分别为 $A{A}_1,C{C}_1$ 的中点，则 $E\left(1,0,\frac{1}{2}\right)$区域，$F\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$。

• 直线 $A_1{D}_1$ 上的任意动点可表示为 $P(x_1,0,1)$；
• 直线 $CD$ 上的任意动点可表示为 $Q(0,y_2,0)$；
• 直线 $EF$ 上的点均满足 $z=\frac{1}{2}$，其上动点可表示为 $R(1-t,t,\frac{1}{2})$。 现假设存在直线同时交这三条直线于 $P,Q,R$ 三点，则 $P,Q,R$ 三点共线。 由于 $z_P=1,z_Q=0,z_R=\frac{1}{2}$，由高度关系可知 $R$ 必须是线段 $PQ$ 的中点，即： $\frac{x_1+0}{2}=1-t⟹x_1=2-2t$ $\frac{0+y_2}{2}=t⟹y_2=2t$ 对于直线 $EF$ 上的任意一个位置（对应任意实数 $t$），都能在直线 $A_1{D}_1$ 上找到唯一的 $P(2-2t,0,1)$，在直线 $CD$ 上找到唯一的 $Q(0,2t,0)$，使得 $P,R,Q$ 三点共线。 由于 $t\in \mathbf{R}$ 有无数个取值，因此满足条件的相交直线有无数条。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线的概念，三条两两异面的直线交线的确定。
2. 核心方法：空间直角坐标系代数法。将定性的几何问题转化为定量的代数方程求解。
3. 避坑指南：避免仅凭几何直观盲目排除。空间中与三条两两异面的直线都相交的直线，通常构成一个单叶双曲面，其上存在无数条直母线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有高等几何中“直纹面（Ruled Surface）”的背景。三条两两异面的直线可以确定一个二次直纹面（单叶双曲面或双曲抛物面），其上拥有两个互相交织的直母线族，因此与这三条线都相交的直线必然有无数条。
2. 结论推广: 空间中任意三条两两异面的直线，若它们不平行于同一平面，则与这三条直线都相交的直线有且仅有无数条。

🔗【关联脉络】

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D

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-08 单-空间两直线所成的角