2014-安徽卷理-08 单-空间两直线所成的角

本题导读

本题考查正方体面中心对角线之间的位置关系及夹角计算。核心在于通过平移向量或构造等边三角形来判定空间直线成角，并利用对称性进行不重不漏的计数。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 $60^{\circ }$ 的共有()

A. 24 对　　　　　B. 30 对　　　　　C. 48 对　　　　　D. 60 对

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基础数据：正方体有 6 个面，每个面有 2 条对角线，总共有 $6\times 2=12$ 条面对角线。

2. 分析成角情况：面对角线之间的夹角只有三种可能：$0^{\circ }$（平行）、$90^{\circ }$（垂直或异面垂直）和 $60^{\circ }$。

3. 识别 $60^{\circ }$ 的几何特征：

   • 当两条面对角线共用一个顶点，且第三条边也是面对角线时，它们构成一个等边三角形，此时夹角为 $60^{\circ }$。

   • 例如在正方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中，$A^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }D,C^{\prime }D$ 三条线两两成 $60^{\circ }$。

4. 计数策略：

   • 法一（固定一条找其他）：先固定一条面对角线 $l_1$，寻找与其成 $60^{\circ }$ 的其他对角线数量。

   • 法二（找等边三角形）：正方体中由面对角线构成的等边三角形个数，每个三角形贡献 3 对。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：固定一条面对角线进行分析

设正方体为 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$，取上底面的一条对角线 $A^{\prime }{C}^{\prime }$。

与其成 $60^{\circ }$ 的对角线有：

1. 与 $A^{\prime }{C}^{\prime }$ 相交于 $A^{\prime }$ 的：$A^{\prime }B,A^{\prime }D$（共 2 条）；

2. 与 $A^{\prime }{C}^{\prime }$ 相交于 $C^{\prime }$ 的：$C^{\prime }B,C^{\prime }D$（共 2 条）；

3. 与 $A^{\prime }{C}^{\prime }$ 异面但平移后成 $60^{\circ }$ 的：$B{C}^{\prime },D{C}^{\prime },A{B}^{\prime },A{D}^{\prime }$（共 4 条）。

   由此可见，对于任意一条面对角线，与之成 $60^{\circ }$ 的面对角线共有 $2+2+4=8$ 条。

第二步：利用总数计算

正方体共有 $12$ 条面对角线。

若不考虑重复，总对数为 $12\times 8=96$ 对。

由于每对直线被重复计算了两次（$l_1$ 与 $l_2$ 成 $60^{\circ }$ 时，计算 $l_1$ 算了一次，计算 $l_2$ 又算了一次），

故实际满足条件的对数为：

$\frac{12\times 8}{2}=48$

另解：找等边三角形法

正方体有 8 个顶点，每个顶点可以作为等边三角形的一个顶点，连接该顶点出发的三条面对角线可构成 3 个等边三角形。

正方体中面对角线构成的等边三角形共有 8 个（对应 8 个顶点削下的三棱锥面）。

每个等边三角形包含 3 对 $60^{\circ }$ 的直线，共 $8\times 3=24$ 对。

等等，这种方法只算出了相交的情况。异面成 $60^{\circ }$ 的情况还有 24 对。总计 $24+24=48$ 对。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体面对角线的夹角与计数。

2. 核心方法：固定一条对角线，统计与之成 $60^{\circ }$ 的对角线数，除以 $2$ 去重。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正方体中面对角线构成的等边三角形。

2. 结论推广: 正方体面对角线共 $12$ 条，两两成 $60^{\circ }$ 共 $48$ 对。

3. 方法推广: 空间直线成角计数可转化为等边三角形或共顶点分类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角
• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角