2008-辽宁卷理-14 填-圆

本题导读

本题是一道空间立体的综合小题。核心考查意图是通过球的体积与球面距离求出球的半径及空间线段长，再利用“勾股定理”构建球心、小圆圆心、球面上点的直角三角形，最终求出球心到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 在体积为 $4\sqrt{3}\pi$ 的球的表面上有 $A,B,C$ 三点，$AB=1,BC=\sqrt{2}$，$A,C$ 两点的球面距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$，则球心到平面 $ABC$ 的距离为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用球的体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 算出球的半径 $R$。
2. 利用 $A,C$ 两点的球面距离公式 $s=R\theta$ 求出大圆中央角 $\angle AOC$，从而求得弦长 $AC$。
3. 判定 $△ABC$ 的形状并算出其外接圆半径 $r$，最后利用勾股定理 $d=\sqrt{R^2-r^2}$ 求出球心到平面的距离。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，由 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi$，解得 $R^3=3\sqrt{3}⟹R=\sqrt{3}$。 设 $A,C$ 两点对球心的张角为 $\theta$，由球面距离公式得： $s=R\theta ⟹\frac{\sqrt{3}}{3}\pi =\sqrt{3}\theta ⟹\theta =\frac{\pi }{3}$ 在 $△AOC$ 中，$OA=OC=R=\sqrt{3}$，且 $\angle AOC=\frac{\pi }{3}$，故 $△AOC$ 是等边三角形，从而弦长 $AC=\sqrt{3}$。 在平面 $△ABC$ 中，$AB=1,BC=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$， 因为 $1^2+(\sqrt{2}{)}^2=3=(\sqrt{3}{)}^2$，即 $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$， 所以 $△ABC$ 是以 $AC$ 为斜边的直角三角形。 其外接圆（即截面小圆）半径 $r=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 根据球的截面几何性质，球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离 $d$ 满足： $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{3-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$

答案：$\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离的几何定义，球的内部直角三角形关系性质 $R^2=d^2+r^2$。
2. 核心方法：几何构造法。
3. 避坑指南：

• 弄清“球面距离”与“空间弦长”的区别：球面距离是弧长，弦长是直线距离，需通过中央角互相转换。
• 准确判定平面多边形的外接圆半径 $r$，本题利用勾股数判定出直角三角形是极简化的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题起源于经典球体几何中“球的内接多面体与外接立体”的组合模型，常作为考查空间想象力的中档填空压轴题。
2. 结论推广: 若截面三角形的三边长为 $a,b,c$，球半径为 $R$，则球心到该截面的距离通式为 $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{abc}{4S_{△}}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-12 单-球内四面体体积
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积