2008-重庆卷文-07 单-均值不等式最值

本题导读

$t=\sqrt{x}$：$f=\frac{t}{t^2+1}⩽\frac{t}{2t}=\frac{1}{2}$（$t>0$），$t=1$ 即 $x=1$ 时取等.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ 的最大值为()

A. $\frac{2}{5}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

破题导航

根号整体换元；分母 $t^2+1$ 与分子 $t$ 用均值不等式对接，取等条件 $t=1$ 落在定义域内.

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sqrt{x}$，则 $t⩾0$，$f=\frac{t}{t^2+1}$．当 $t=0$ 时 $f=0$；当 $t>0$ 时，由 $t^2+1⩾2t$，得 $f=\frac{t}{t^2+1}⩽\frac{t}{2t}=\frac{1}{2}$，当且仅当 $t=1$ 即 $x=1$ 时取等号．故最大值为 $\frac{1}{2}$．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：均值不等式求最值

核心方法：换元 $t=\sqrt{x}$ 后 $t^2+1⩾2t$ 直接放缩

避坑指南：$t=0$ 与 $t>0$ 分开看；取等条件 $t=1$ 必须落回 $x=1$ 检验在定义域内；分子分母同除 $t$ 前说明 $t>0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：均值不等式的经典最值，教材习题原型

结论推广：$\frac{t}{t^2+1}⩽\frac{1}{2}$ 等号在 $t=1$；一般 $\frac{t}{t^2+a}$ 型最大值在 $t=\sqrt{a}$

方法推广：根号换元把无理式化分式；均值不等式取等条件必须回代检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-18 解-三角恒等变换
• 2011-重庆卷理-07
• 2010-重庆卷理-07