2008-重庆卷文-12 单-三角分式值域

本题导读

$g^{\prime }(u)=\frac{-2(2u+1)(u+2)}{(5+4u{)}^2}$，$u=-\frac{1}{2}$ 处最大 $g=\frac{1}{4}$；端点 $g(\pm 1)=0$，故 $f^2\in [0,\frac{1}{4}]$，值域 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{5+4\cos x}}$（$0⩽x⩽2\pi$）的值域是()

A. $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$　　B. $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$　　C. $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$　　D. $\left[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

分母恒正（$5+4\cos x⩾1$），可平方处理；${\sin }^{2}x=1-u^2$ 把三角问题化为区间 $[-1,1]$ 上的分式函数，求导找驻点并核对端点.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $5+4\cos x⩾5-4=1>0$，可先求 $f^2(x)$ 的范围．令 $u=\cos x\in [-1,1]$，则$f^2(x)=\frac{{\sin }^{2}x}{5+4\cos x}=\frac{1-u^2}{5+4u}=g(u)$．求导得 $g^{\prime }(u)=\frac{-2u(5+4u)-4(1-u^2)}{(5+4u{)}^2}=\frac{-2(2u+1)(u+2)}{(5+4u{)}^2}$．在 $[-1,1]$ 上 $u+2>0$，故 $u<-\frac{1}{2}$ 时 $g$ 递增，$u>-\frac{1}{2}$ 时 $g$ 递减；$g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1-\frac{1}{4}}{5-2}=\frac{1}{4}$，$g(-1)=g(1)=0$，所以 $g(u)\in \left[0,\frac{1}{4}\right]$．又 $f$ 连续且可正可负，故 $f(x)\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角分式函数的值域

核心方法：分母恒正时平方化 $f^2=\frac{1-u^2}{5+4u}$，对 $u=\cos x$ 求导

避坑指南：$5+4\cos x⩾1$ 恒正，平方不改变符号行为；$g(u)$ 在 $u=-\frac{1}{2}$ 取最大、端点取 0，别忘 $f$ 可负——值域关于 0 对称

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角分式值域，三角与导数的交汇题

结论推广：$\frac{\sin x}{a+b\cos x}$ 型平方后化为 $\cos x$ 的分式函数，用导数或判别式

方法推广：分母恒正时平方不改变最值结构；三角问题函数化是通用路径

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷理-12 填-对数运算与对数函数

• 2015-重庆卷文-18 解-三角恒等变换

• 2005-重庆卷理-12 填-导数切线斜率工具的应用