2008-重庆卷文-21 解-双曲线定义与焦半径

本题导读

(1)$2a=2$，$c=2$，$b^2=3$：$x^2-\frac{y^2}{3}=1$；(2)令 $u=2x-1$：$u+2=2u^2$，$u=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$；$d=\frac{u}{2}$，$\frac{|PM|}{d}=2+\frac{4}{u}=1+\sqrt{17}$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)） 如图，$M(-2,0)$ 和 $N(2,0)$ 是平面上的两点，动点 $P$ 满足：$\left||PM|-|PN|\right|=2$．

(1)求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)设 $d$ 为点 $P$ 到直线 $l:x=\frac{1}{2}$ 的距离，若 $|PM|=2|PN{|}^2$，求 $\frac{|PM|}{d}$ 的值.

🔍【思路分析】

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(1)$2<|MN|=4$，轨迹是双曲线，焦点在 $x$ 轴. (2)$|PM|=2|PN{|}^2$ 强制 $|PM|>|PN|$，点 $P$ 只能在右支：焦半径 $|PN|=2x-1$、$|PM|=2x+1$ 化为一元二次方程；$\frac{|PM|}{d}$ 中 $d=x-\frac{1}{2}$，用 $u=|PN|$ 整体代入可避免繁分式.

✅【答案】

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(1)$x^2-\frac{y^2}{3}=1$；(2)$1+\sqrt{17}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $\left||PM|-|PN|\right|=2$ 及 $|MN|=4>2$，轨迹是以 $M$，$N$ 为焦点的双曲线，$2a=2$，$a=1$，$c=2$，$b^2=c^2-a^2=3$．故轨迹方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$. (2)若 $P$ 在左支，则 $|PM|=-(2x+1)$，$|PN|=1-2x$（$x⩽-1$）．令 $v=1-2x⩾3$，条件 $|PM|=2|PN{|}^2$ 化为 $v-2=2v^2$，即 $2v^2-v+2=0$，判别式 $1-16<0$，无实数解，故 $P$ 不在左支．因此 $P$ 在右支，此时 $|PN|=2x-1$，$|PM|=2x+1$．令 $u=2x-1$（$u⩾1$），条件化为 $u+2=2u^2$，即 $2u^2-u-2=0$，解得 $u=\frac{1+\sqrt{17}}{4}$（负根舍去），且 $\frac{1+\sqrt{17}}{4}\approx 1.28⩾1$ 合题意．此时 $x=\frac{u+1}{2}$，$d=x-\frac{1}{2}=\frac{u}{2}$，$|PM|=u+2$．所以 $\frac{|PM|}{d}=\frac{u+2}{\frac{u}{2}}=2+\frac{4}{u}=2+\frac{16}{1+\sqrt{17}}=2+(\sqrt{17}-1)=1+\sqrt{17}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与焦半径公式

核心方法：$\left||PM|-|PN|\right|=2$ 直接定义定 $a$；焦半径 $|PN|=ex-a$（右支）

避坑指南：$2<|MN|=4$ 保证轨迹是双曲线而非射线；$|PM|=2|PN{|}^2$ 迫使 $|PM|>|PN|$，左支需单独检验（判别式小于 0 无解）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线定义型轨迹 + 焦半径条件，圆锥曲线解答题经典架构

结论推广：$\left||P{F}_1|-|P{F}_2|\right|=2a$（$2a<|F_1{F}_2|$）直接定义法求轨迹

方法推广：焦半径 $|P{F}_{\text{右}}|=ex-a$（右支）把几何条件化成一次式；条件含平方时另一支要单独验证，判别式判断有无解

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