2015-重庆卷理-21 解-椭圆定义

本题导读

本题是 2015 年重庆理科卷的压轴大题，考查圆锥曲线的综合性质。第一问利用椭圆定义和勾股定理求解基本量 $a,b,c$；第二问通过几何长度关系建立关于 $a,c$ 的齐次式，考查离心率的求法及代数变形能力。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $P,Q$ 两点，且 $PQ\perp P{F}_1$.

(1) 若 $|P{F}_1|=2+\sqrt{2},|P{F}_2|=2-\sqrt{2}$，求椭圆的标准方程；

(2) 若 $|P{F}_1|=|PQ|$，求椭圆的离心率 $e$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（标准方程）：
   • 根据椭圆定义：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$，可直接求出 $a$。
   • 题干给定 $PQ\perp P{F}_1$，即 $△P{F}_1{F}_2$ 是直角三角形。利用勾股定理 $|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2$ 求出焦距 $2c$，进而得到 $b^2=a^2-c^2$。
2. 第二问（离心率）：
   • 建立比例关系：设 $|P{F}_1|=m$，则 $|P{F}_2|=2a-m$。
   • 利用长度转化：由 $|P{F}_1|=|PQ|$，可得 $|Q{F}_2|=|PQ|-|P{F}_2|=m-(2a-m)=2m-2a$。
   • 利用定义：对点 $Q$ 使用定义 $|Q{F}_1|+|Q{F}_2|=2a$，求出 $|Q{F}_1|$（关于 $a,m$ 的式子）。
   • 勾股定理锁定：在 $Rt△PQ{F}_1$ 中，$|P{F}_1{|}^2+|PQ{|}^2=|Q{F}_1{|}^2$。通过此方程求出 $m$ 与 $a$ 的比例。
   • 求解离心率：在 $Rt△P{F}_1{F}_2$ 中，$|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=(2c{)}^2$，代入 $m$ 得到关于 $a,c$ 的关系式，求出 $e=c/a$。

✅【答案】

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因为 $e>0$，所以 $e=\sqrt{6}-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的标准方程 根据椭圆定义：$2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4$， 解得 $a=2,a^2=4$。 因为 $PQ\perp P{F}_1$，所以 $△P{F}_1{F}_2$ 为直角三角形。 在 $Rt△P{F}_1{F}_2$ 中，由勾股定理得： $(2c{)}^2=|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2$ $4c^2=(2+\sqrt{2}{)}^2+(2-\sqrt{2}{)}^2=(4+2+4\sqrt{2})+(4+2-4\sqrt{2})=12$。 解得 $c^2=3$。 则 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$。 故椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

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(2) 求椭圆的离心率 $e$ 设 $|P{F}_1|=m$，则 $|P{F}_2|=2a-m$。 因为 $|PQ|=|P{F}_1|=m$， 所以 $|Q{F}_2|=|PQ|-|P{F}_2|=m-(2a-m)=2m-2a$。 对点 $Q$ 应用椭圆定义：$|Q{F}_1|=2a-|Q{F}_2|=2a-(2m-2a)=4a-2m$。 在 $Rt△PQ{F}_1$ 中， 由勾股定理 $|P{F}_1{|}^2+|PQ{|}^2=|Q{F}_1{|}^2$ 得：

$m^2+m^2=(4a-2m{)}^2$ $2m^2=16a^2-16am+4m^2⟹2m^2-16am+16a^2=0$。 整理得 $m^2-8am+8a^2=0$。 解得 $m=\frac{8a\pm \sqrt{64a^2-32a^2}}{2}=(4\pm 2\sqrt{2})a$。 因为 $m<2a$，取 $m=(4-2\sqrt{2})a=2(2-\sqrt{2})a$。 则 $|P{F}_2|=2a-m=2a-(4-2\sqrt{2})a=(2\sqrt{2}-2)a=2(\sqrt{2}-1)a$。

在 $Rt△P{F}_1{F}_2$ 中： $(2c{)}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2$ $4c^2=[2(2-\sqrt{2})a{]}^2+[2(\sqrt{2}-1)a{]}^2$ $4c^2=4a^2[(4+2-4\sqrt{2})+(2+1-2\sqrt{2})]$ $c^2=a^2(9-6\sqrt{2})$。 则 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=9-6\sqrt{2}=(\sqrt{6}-\sqrt{3}{)}^2$。 因为 $e>0$，所以 $e=\sqrt{6}-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何直观与代数转化的结合：本题没有使用繁琐的坐标计算，而是完全利用长度关系和勾股定理，这要求对几何图形的结构有极强的把握。
2. 离心率的求法：求离心率不一定要算出 $c$ 和 $a$，只要建立关于 $a,c$ 的齐次方程即可。
3. 计算陷阱：在解 $m$ 的二次方程时，必须利用 $m<2a$ 这一几何约束条件进行舍根。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 本题也可以利用焦点三角形的面积公式或余弦定理进行推导。由于 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，其面积 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}=b^2$（此处 $\theta =90^{\circ }$），但由于涉及 $Q$ 点，纯几何长度法最为简便。
• 变式思考: 若条件改为 $△P{F}_1{F}_2$ 是等腰直角三角形，离心率又该如何计算？ (提示：此时 $m=2a-m=c\sqrt{2}$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

$e=\surd 6-\surd 3.$

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-21
• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式