2008-重庆卷理-08 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与其几何性质（渐近线斜率、离心率）之间的代数对应关系。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线为 $y=kx(k>0)$，离心率 $e=\sqrt{5}k$，则双曲线方程为 ()

A. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4a^2}=1$　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{5a^2}=1$

C. $\frac{x^2}{4b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{5b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线方程确定渐近线斜率 $k=\frac{b}{a}$。
2. 结合已知条件 $e=\sqrt{5}k$ 与离心率公式 $e=\frac{c}{a}$，建立 $b$ 与 $c$ 的比例关系。
3. 利用 $c^2=a^2+b^2$ 消除参数 $c$，确定 $a^2$ 与 $b^2$ 的代数关系后代入原方程。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程知焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为 $k>0$，所以 $k=\frac{b}{a}$。 又由离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}k$，得 $\frac{c}{a}=\sqrt{5}\cdot \frac{b}{a}$，从而解得 $c=\sqrt{5}b$。 将 $c=\sqrt{5}b$ 代入双曲线基本关系式 $c^2=a^2+b^2$，得： $(\sqrt{5}b{)}^2=a^2+b^2\Rightarrow 5b^2=a^2+b^2\Rightarrow a^2=4b^2$ 将 $a^2=4b^2$ 代入原双曲线方程中，得 $\frac{x^2}{4b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中 $a,b,c$ 几何意义及渐近线斜率与离心率的公式转化。
2. 核心方法：统一参数法，利用焦点三角形中的内在恒等式进行消元。
3. 避坑指南：注意观察选项形式，本题四个选项分别将方程统一为含 $a^2$ 或 $b^2$ 的形式，化简时需注意对齐目标形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的圆锥曲线几何性质常考题型。
2. 结论推广：对于焦点在 $x$ 轴上的双曲线，若离心率与渐近线斜率满足 $e=mk(m>1)$，则基本量满足 $a^2=(m^2-1)b^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-上海卷理-21 解-双曲线
• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点