本题导读
本题考查立体几何中异面直线的距离与二面角的求解。通过翻折问题建立空间直角坐标系，利用向量法进行定量计算。
📌【题干】
Question
（2008年重庆卷(理)） 如图，在 △ABC 中，∠B = 90°，AC = 15/2，D、E 两点分别在 AB、AC 上，使 AD/DB = AE/EC = 2，DE = 3.现将 △ABC 沿 DE 折成直二面角，求：
(1) 异面直线 AD 与 BC 的距离；
(2) 二面角 A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.
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🔍【思路分析】
破题导航
- 翻折前分析平面图形中各线段长度及垂直关系：通过比例求出 AD = 4, DB = 2, BC = 9/2，并确定 AD ⊥ DE，BD ⊥ DE。
- 翻折后利用面面垂直的性质，得出 AD ⊥ 平面 BCED。
- 第(1)问：利用线面垂直证明 DB 为公垂线段，其长度即为异面直线距离。
- 第(2)问：以 D 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面 AEC 和平面 BCE 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角。
✅【答案】
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因为𝐷，𝐸分别将𝐴𝐵，𝐴𝐶按相同比例分割，所以𝐷𝐸∥𝐵𝐶，且𝐷𝐸𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵=2
✍【详细解析】
Abstract
在平面图形 △ABC 中，因为 AD/DB = AE/EC = 2，所以 DE ∥ BC。 又 ∠B = 90°，所以 ∠ADE = 90°，即 AD ⊥ DE，BD ⊥ DE。 由 AE/AC = 2/3 得 AE = (2/3) * (15/2) = 5。 在直角 △ADE 中，AD = √(AE^2 - DE^2) = √(5^2 - 3^2) = 4。 因为 AD/DB = 2，所以 DB = 2。 由 DE/BC = 2/3 得 BC = (3/2) * DE = 9/2。
翻折后，二面角 A-DE-B 为直二面角，即平面 ADE ⊥ 平面 BCED。 又平面 ADE ∩ 平面 BCED = DE，且 AD ⊥ DE， 所以 AD ⊥ 平面 BCED。
(1) 因为 AD ⊥ 平面 BCED，且 BC 在平面 BCED 内，所以 AD ⊥ BC。 在平面 BCED 中，由于 DE ∥ BC 且 BD ⊥ DE，所以 BD ⊥ BC。 因此，BD 是异面直线 AD 与 BC 的公垂线段。 所以异面直线 AD 与 BC 的距离为 BD = 2。
(2) 以 D 为原点，DE、DB、DA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz。 则各点坐标为： D(0, 0, 0), A(0, 0, 4), E(3, 0, 0)。 由于 BC ∥ DE 且 BC = 9/2，B(0, 2, 0)， 可得 C(9/2, 2, 0)。
平面 BCE 即为 xy 平面，其一个法向量为 n1 = (0, 0, 1)。 设平面 AEC 的法向量为 n2 = (x, y, z)。 向量 EA = (-3, 0, 4)，向量 EC = (3/2, 2, 0)。 由 n2 ⊥ EA 且 n2 ⊥ EC 得： -3x + 4z = 0 (3/2)x + 2y = 0 取 x = 4，则 y = -3, z = 3，得 n2 = (4, -3, 3)。
设二面角 A-EC-B 的平面角为 θ。 因为二面角 A-EC-B 为锐角， 所以二面角 A-EC-B 的大小为 arccos(3√34 / 34)。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：面面垂直的性质定理、异面直线的公垂线、二面角的空间向量解法。
- 核心方法：建系坐标法。利用折叠前后的垂直关系（AD ⊥ DE，BD ⊥ DE）作为建系基底。
- 避坑指南：折叠问题中需严格区分“变”与“不变”的几何量；建系时务必验证三条轴是否两两垂直。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于教材中立体几何立体图形翻折与多面体度量关系的经典高考压轴题型。
- 结论推广：若将直二面角推广为任意二面角 α，则可借助射影面积定理或用带有 cosα 的空间几何向量进行统一求解。
🔗【关联脉络】
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