2008-重庆卷理-21 解-解三角形

本题导读

本题考查圆锥曲线的标准方程及其焦点三角形的几何性质。第一问直接利用椭圆定义求解；第二问的核心在于利用余弦定理将已知的边角分式化简为焦半径的代数式，再通过焦半径公式实现向点坐标的转化。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)）如图， $M (- 2, 0)$ 和 $N (2, 0)$ 是平面上的两点，动点 $P$ 满足： $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ = 6$ .

(1) 求点 $P$ 的轨迹方程；

(2) 若 $∣ P M ∣ \cdot ∣ P N ∣ = \frac{2}{1 - c o s ∠ M P N}$ ，求点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

第(1)问：根据 $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ = 6 > ∣ M N ∣ = 4$ ，由椭圆定义可知动点 $P$ 的轨迹是以 $M, N$ 为焦点的椭圆，求出基本量 $a, c, b$ 即可写出方程。

第(2)问：将已知条件去分母展开，利用余弦定理将 $cos ∠ M P N$ 消去，从而得到关于 $∣ P M ∣$ 和 $∣ P N ∣$ 的和差关系。再借助椭圆的焦半径公式 $r = a \pm e x$ 建立关于横坐标 $x$ 的方程，求出 $x$ 后进而确定 $y$ 。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $M (- 2, 0)$ ， $N (2, 0)$ ，所以 $∣ M N ∣ = 4$ 。由 $∣ P M ∣ + ∣ P N ∣ = 6 > ∣ M N ∣$ 知，点 $P$ 的轨迹是以 $M, N$ 为焦点的椭圆。其中 $2 a = 6 \Rightarrow a = 3$ ， $2 c = 4 \Rightarrow c = 2$ 。则 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 3^{2} - 2^{2} = 5$ 。所以点 $P$ 的轨迹方程为 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 。

(2) 设 $∣ P M ∣ = r_{1}$ ， $∣ P N ∣ = r_{2}$ ，由(1)知 $r_{1} + r_{2} = 6$ 。将条件式 $∣ P M ∣ \cdot ∣ P N ∣ = \frac{2}{1 - c o s ∠ M P N}$ 变形为： $r_{1} r_{2} (1 - cos ∠ M P N) = 2 \Rightarrow r_{1} r_{2} - r_{1} r_{2} cos ∠ M P N = 2 (1)$ 在 $△ M P N$ 中，由余弦定理得： $∣ M N ∣^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos ∠ M P N$ 因为 $∣ M N ∣ = 4$ ，所以 $16 = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos ∠ M P N$ ，即： $r_{1} r_{2} cos ∠ M P N = \frac{r _{1}^{2} + r _{2}^{2} - 16}{2} (2)$ 将②代入①中得： $r_{1} r_{2} - \frac{r _{1}^{2} + r _{2}^{2} - 16}{2} = 2 \Rightarrow 2 r_{1} r_{2} - (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 16) = 4$ 化简得： $16 - (r_{1} - r_{2})^{2} = 4 \Rightarrow (r_{1} - r_{2})^{2} = 12 \Rightarrow ∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 23$ 设 $P (x, y)$ ，根据椭圆的焦半径公式有： $r_{1} = a + e x = 3 + \frac{2}{3} x$ $r_{2} = a - e x = 3 - \frac{2}{3} x$ 所以 $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = \frac{4}{3} x = 23$ ，解得 $x = \pm \frac{3 3}{2}$ ，则 $x^{2} = \frac{27}{4}$ 。将 $x^{2} = \frac{27}{4}$ 代入椭圆方程 $\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 中得： $\frac{\frac{27}{4}}{9} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y ^{2}}{5} = 1 \Rightarrow y^{2} = \frac{5}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{5}{2}$ 故点 $P$ 的坐标为 $(\pm \frac{3 3}{2}, \pm \frac{5}{2})$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的几何定义、焦点三角形中的余弦定理应用、焦半径公式。

核心方法：整体代换法（利用 $r_{1} + r_{2}$ 与 $r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ 的代数关系化简）与坐标转化法。

避坑指南：在开方求解 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 和最终坐标时，极易漏掉对称方向的负解，应结合图形对称性保留四组完整坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于解析几何中经典的焦点三角形面积与周长恒等式性质问题的变形拓展。

结论推广：在椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 中，若焦点三角形满足 $r_{1} r_{2} (1 - cos θ) = k$ ，则其本质是限定了点 $P$ 的横坐标范围，满足 $∣ x ∣ = \frac{a}{c} 4 a^{2} - 2 k - ∣ F_{1} F_{2} ∣^{2}$ 。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

（待补）

类题演练 (Links)

2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

2009-上海卷理-09 填-椭圆

2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形

∑ ( Math )

Explorer

2008-重庆卷理-21 解-解三角形

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks