2008-陕西卷文-08 单-长方体外接球面距离

本题导读

$8k^2=4$，$k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$AB=2k=\sqrt{2}$；$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\theta =\frac{\pi }{2}$，球面距离 $=R\theta =\frac{\pi }{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的各顶点都在半径为 $1$ 的球面上，其中 $AB:AD:A{A}_1=2:1:\sqrt{3}$，则 $A$，$B$ 两点的球面距离为()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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三步走：设 $AB=2k$、$AD=k$、$A{A}_1=\sqrt{3}k$，体对角线 $\sqrt{4k^2+k^2+3k^2}=2R$ 定 $k$；弦 $AB$ 对应球心角 $\theta$；球面距离为劣弧长 $R\theta$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=2k$，$AD=k$，$A{A}_1=\sqrt{3}k$，则体对角线长 $\sqrt{(2k{)}^2+k^2+(\sqrt{3}k{)}^2}=2\sqrt{2}k$．长方体外接球直径等于体对角线，$2\sqrt{2}k=2R=2$，解得 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是 $AB=2k=\sqrt{2}$． 设球心角 $\angle AOB=\theta$，由弦长公式 $AB=2R\sin \frac{\theta }{2}$，得 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $\frac{\theta }{2}=\frac{\pi }{4}$，$\theta =\frac{\pi }{2}$．所以 $A$，$B$ 两点的球面距离为 $R\theta =1\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体外接球与球面距离

核心方法：长方体对角线即直径：$a^2+b^2+c^2=(2R{)}^2$ 定棱长；球心角用 $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{\text{弦长}}{2R}$ 反解

避坑指南：先按比例设棱长再解出 $k$，别把比例直接当棱长；球面距离是劣弧长 $R\theta$，不是弦长 $AB$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”球的表面积与体积”中球面距离的定义

结论推广：球面距离 $l=R\theta$（$\theta$ 为球心角的弧度数）；两点弦长 $=2R\sin \frac{\theta }{2}$

方法推广：外接球问题先抓”体对角线 $=$ 直径”；球面距离三步走：定弦长 $\to$ 定球心角 $\to$ 弧长 $R\theta$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-14
• 2009-陕西卷理-15
• 2004-全国卷II理-07 单-球面距离