2007-陕西卷文-07 单-球截面外接圆距离

本题导读

本题考查球的性质，以及截面圆的半径。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） $\mathrm{Rt}△ABC$ 的三个顶点在半径为 $13$ 的球面上，直角边的长分别为 $6$ 和 $8$，则球心到平面 $ABC$ 的距离是 ()

A. $5$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $12$

🔍【思路分析】

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1. 直角三角形的斜边 $=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 其外接圆（截面圆）半径 $=\frac{10}{2}=5$。
3. 设球心到平面的距离为 $h$，由截面性质 $h^2+r^2=R^2$，即 $h^2+25=169$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

直角三角形的斜边长为 $\sqrt{6^2+8^2}=10$，故其外接圆半径为 $\frac{10}{2}=5$． $△ABC$ 的外接圆是球面与平面 $ABC$ 的截面圆，设球心到平面 $ABC$ 的距离为 $h$，则截面性质给出 $h^2+5^2=13^2$， 解得 $h=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球截面外接圆距离

核心方法：直角三角形斜边 $10$ 是截面圆直径，外接圆半径 $5$；截面性质 $h^2+r^2=R^2$ 得 $h=12$

避坑指南：斜边 $10$ 是直径，半径要除以 $2$ 得 $5$；球半径 $13$ 是斜边 $R$，用 $h^2=13^2-5^2$，别把 $6,8$ 直接当半径用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于球的性质与平面截球，教材”球”中截面圆与球心距的关系

结论推广：一般化：球心到截面距离 $h$、截面圆半径 $r$、球半径 $R$ 满足 $h^2+r^2=R^2$

方法推广：直角三角形的外接圆半径是斜边的一半；把平面图形外接圆当作球截面是常用转化

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-08 单-长方体外接球面距离
• 2009-陕西卷文-15 填-球面距离求角
• 2014-陕西卷理-05 单-外接球