2008-陕西卷文-10 单-直二面角的线面角与射影

本题导读

$\sin \theta =\frac{b}{AB}$，$\sin \phi =\frac{a}{AB}$，$a>b$ 给出 $\theta <\phi$；$m=AB\cos \theta$，$n=AB\cos \phi$，$\theta <\phi$ 给出 $m>n$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 如图，$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，$A\in \alpha$，$B\in \beta$，$A$，$B$ 到 $l$ 的距离分别是 $a$ 和 $b$，$AB$ 与 $\alpha$，$\beta$ 所成的角分别是 $\theta$ 和 $\phi$，$AB$ 在 $\alpha$，$\beta$ 内的射影分别是 $m$ 和 $n$，若 $a>b$，则()

A. $\theta >\phi$，$m<n$　　　　B. $\theta >\phi$，$m>n$　　　　C. $\theta <\phi$，$m<n$　　　　D. $\theta <\phi$，$m>n$

🔍【思路分析】

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关键转化：$\alpha \perp \beta$ 时，$A$ 到 $\beta$ 的距离恰为 $A$ 到 $l$ 的距离 $a$，$B$ 到 $\alpha$ 的距离恰为 $b$；两个线面角共用斜线段 $AB$，比较对边长短即比较角的大小；射影长短由余弦定（角小者射影长）.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，由面面垂直的性质，$A$ 到 $\beta$ 的距离等于 $A$ 到 $l$ 的距离 $a$；同理 $B$ 到 $\alpha$ 的距离等于 $b$． $AB$ 与 $\alpha$ 所成角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{b}{AB}$；$AB$ 与 $\beta$ 所成角 $\phi$ 满足 $\sin \phi =\frac{a}{AB}$．由 $a>b$ 得 $\sin \phi >\sin \theta$，又 $\theta$、$\phi$ 均为锐角，所以 $\theta <\phi$． $AB$ 在 $\alpha$ 内的射影长 $m=AB\cos \theta$，在 $\beta$ 内的射影长 $n=AB\cos \phi$；由 $\theta <\phi$ 得 $\cos \theta >\cos \phi$，所以 $m>n$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直中的线面角与射影

核心方法：两平面垂直时，一平面内点到另一平面的距离等于它到交线的距离；$\sin (\text{线面角})=\frac{\text{点到平面距离}}{\text{斜线段长}}$

避坑指南：$\theta$、$\phi$ 的大小由对边 $b$、$a$ 决定（斜线段相同）；射影长与线面角的余弦成正比，角小者射影长，正弦余弦别接反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材面面垂直性质定理与线面角定义的综合

结论推广：若 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta =l$，则 $\alpha$ 内任一点到 $\beta$ 的距离即它到 $l$ 的距离；斜线段长一定时，线面角越大射影越短

方法推广：立体几何”比大小”题先建直角三角形模型，把所有角与距离放到同一斜线段上用 $\sin$、$\cos$ 表示，再借助单调性比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷理-18 解-线面垂直
• 2010-陕西卷理-18
• 2007-陕西卷理-10 单-平行平面性质