2013-陕西卷理-07 单-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及两角和的正弦公式。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.若 $b\cos C+c\cos B=a\sin A$，则 $△ABC$ 的形状为()

A. 锐角三角形　　B. 直角三角形　　C. 钝角三角形　　D. 不确定

🔍【思路分析】

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1. 统一量纲：已知等式中既有边又有角，通常采用正弦定理将边转化为角，或采用余弦定理将角转化为边。
2. 公式应用：
   • 方式一：利用正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ 代入。
   • 方式二：识别出左边 $b\cos C+c\cos B$ 正好是三角形射影定理的表达式，直接等于 $a$。
3. 推导方程：化简得到关于角 $A$ 的等式，确定角 $A$ 的大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用正弦定理转化 已知 $b\cos C+c\cos B=a\sin A$。 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，代入得： $2R\sin B\cos C+2R\sin C\cos B=2R\sin A\cdot \sin A$ 消去 $2R$（$R$ 为外接圆半径，且 $R\ne 0$）： $\sin B\cos C+\cos B\sin C={\sin }^{2}A$

第二步：利用和角公式与诱导公式 左边符合两角和的正弦公式 $\sin (B+C)$： $\sin (B+C)={\sin }^{2}A$ 在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，故 $B+C=\pi -A$。 根据诱导公式 $\sin (\pi -A)=\sin A$，代入上式得： $\sin A={\sin }^{2}A$

第三步：求解角度并判定形状 整理得 $\sin A(\sin A-1)=0$。 因为 $A$ 是三角形内角，故 $\sin A>0$。 所以 $\sin A=1$。 由于 $0<A<\pi$，解得 $A=\frac{\pi }{2}$（即 $90^{\circ }$）。 角 $A$ 为直角，故 $△ABC$ 为直角三角形。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的“边化角”运用；三角形内角和定理与诱导公式的结合。

核心方法：边角转化 是解三角形题目最常用的策略。当等式中角较多时，化边为角；当等式中二次项（如 $a^2$）较多时，考虑用余弦定理化角为边。

避坑指南：不要漏掉诱导公式这一步。在解三角形中，$\sin (A+B)=\sin C$ 和 $\cos (A+B)=-\cos C$ 是极其高频的转换点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：余弦定理、三角形面积公式。

结论推广：在任意 $△ABC$ 中，恒有射影定理 $a=b\cos C+c\cos B$。 - 若本题直接应用射影定理，则原式变为 $a=a\sin A⟹\sin A=1$，口算即可得出答案。

方法推广：判定三角形形状通常有两个方向：一是求出某个角（如本题），二是求出边之间的关系（如 $a^2+b^2=c^2$ 为直角，$a=b$ 为等腰）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理