2015-陕西卷理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的应用。通过二项展开式的通项公式提取指定项的系数，并建立关于 $n$ 的方程求解，是二项式定理板块的基础题型。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 二项式 $(x+1{)}^n(n\in {\mathbb{N}}_{+})$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 15，则 $n=$ ()

A. 4　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 7

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：根据二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，写出 $(x+1{)}^n$ 的展开通项。
2. 确定 $r$ 的值：令 $x$ 的幂指数等于 2，从而确定对应项。
3. 建立方程：令该项的系数等于 15，得到关于 $n$ 的组合数方程。
4. 求解 $n$：利用组合数计算公式 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ 求解，并根据 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 检验结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 二项式 $(x+1{)}^n$ 的展开通项为： $T_{r+1}=C_n^r\cdot x^{n-r}\cdot 1^r=C_n^r{x}^{n-r}$ (注：也可以写成 $T_{r+1}=C_n^r\cdot 1^{n-r}\cdot x^r=C_n^r{x}^r$，此处采用后者更直观) 设 $T_{r+1}=C_n^r{x}^r$。

第二步：提取 $x^2$ 的系数 令 $r=2$，则 $x^2$ 项为 $T_3=C_n^2{x}^2$。 已知该项系数为 15，则有： $C_n^2=15$

第三步：解方程 根据组合数公式 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2\times 1}$，得： $\frac{n(n-1)}{2}=15$ $n^2-n=30$ $n^2-n-30=0$ 因式分解得： $(n-6)(n+5)=0$ 解得 $n=6$ 或 $n=-5$。

第四步：确定结论 因为 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$，所以 $n=6$。

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用；组合数方程的解法。
• 核心方法：待定系数法。通过令通项中变量的指数等于目标指数，反求 $r$，进而确定系数。
• 避坑指南：
  1. 分清“系数”与“二项式系数”。在本题中两者相等，但在形如 $(2x+1{)}^n$ 的题目中则不同。
  2. 注意通项公式中 $r$ 的取值范围 $r\in \{0,1,\dots ,n\}$，且 $n$ 必须为正整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: $(x+1{)}^n$ 的展开式中，第 $k+1$ 项的系数即为 $C_n^k$。 *方法推广: 遇到求展开式中常数项的问题，即令变量的指数等于 0。

• 相关知识点：帕斯卡三角形（杨辉三角）、二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值）。

🔗【关联脉络】

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