2015-陕西卷理-19 解-分布列

本题导读

本题以开车通勤为背景，考查离散型随机变量分布列的建立、数学期望的计算以及相互独立事件概率的求解。第二问需要将生活化描述转化为数学不等式，并运用相互独立性进行概率合成。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 $T$，$T$ 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：

| $T$（分钟） | 25 | 30 | 35 | 40 | | 频数（次） | 20 | 30 | 40 | 10 |

（I）求 $T$ 的分布列与数学期望 $ET$；

（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （I）问思路：
   • 频率估计概率：利用样本中各组频数除以总样本容量 100，求得 $T$ 取各值的概率 $P$。
   • 建立分布列：按表格形式列出 $T$ 与 $P$ 的对应关系。
   • 计算期望：套用公式 $ET=\sum x_i{p}_i$ 计算平均用时。
   2. （II）问思路：
   • 建立数学关系：设往返路程用时分别为 $T_1,T_2$。总时间 = $T_1+T_2+50\le 120$，化简得 $T_1+T_2\le 70$。
   • 相互独立性：假设往返的路况是相互独立的，则 $P(T_1=x,T_2=y)=P(T_1=x)\cdot P(T_2=y)$。
   • 计算方法：
     • 方法一（直接法）：枚举所有满足 $T_1+T_2\le 70$ 的组合 $(T_1,T_2)$，分别计算概率后求和。
     • 方法二（补集法）：计算 $T_1+T_2>70$ 的概率，利用 $1-P$ 求解。因不符合条件的组合较少，推荐此法。

✅【答案】

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刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率为 0.91

✍【详细解析】

Abstract

（I）求 $T$ 的分布列与数学期望 $ET$

由统计数据可得，$T$ 取各值的频率分别为：

$P(T=25)=\frac{20}{100}=0.2$； $P(T=30)=\frac{30}{100}=0.3$； $P(T=35)=\frac{40}{100}=0.4$； $P(T=40)=\frac{10}{100}=0.1$。 所以 $T$ 的分布列为：

$T$	25	30	35	40
$P$	0.2	0.3	0.4	0.1

数学期望为： $ET=25\times 0.2+30\times 0.3+35\times 0.4+40\times 0.1=5+9+14+4=32\text{（分钟）}$

（II）求总时间不超过 120 分钟的概率

设往、返所需时间分别为 $T_1,T_2$，由题意 $T_1,T_2$ 相互独立且分布列与 $T$ 相同。 设事件 $A$ 为“总时间不超过 120 分钟”，则 $T_1+T_2+50\le 120$，即 $T_1+T_2\le 70$。 考察其对立事件 $\bar{A}$ 为“$T_1+T_2>70$”。 满足 $T_1+T_2>70$ 的取值组合有： $(35,40),(40,35),(40,40)$。 对应概率分别为： $P(T_1=35,T_2=40)=0.4\times 0.1=0.04$； $P(T_1=40,T_2=35)=0.1\times 0.4=0.04$； $P(T_1=40,T_2=40)=0.1\times 0.1=0.01$。 所以对立事件的概率： $P(\bar{A})=0.04+0.04+0.01=0.09$ 由概率性质得： $P(A)=1-P(\bar{A})=1-0.09=0.91$ 答：刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率为 0.91。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分布列的规范书写；期望的算术过程；相互独立事件的定义及概率乘法公式。
• 核心方法：正难则反（补集法）。在计算多种可能性的概率和时，观察哪一侧（符合条件还是不符合条件）的组合更少，可以显著减少计算量并降低出错率。
• 避坑指南：
  1. 期望计算中，由于概率之和必须为 1，可以先自检分布列是否正确。
  2. 第二问中，不要漏掉“讲座时间 50 分钟”，这是转化不等式的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若两个独立随机变量 $X,Y$ 具有相同的分布，$P(X+Y\le k)$ 的计算本质是二维离散空间内的联合概率求和。 *方法推广: 统计题目中常用样本频率代替总体概率，这种方法体现了从局部推断总体的统计学思想。

• 相关知识点：方差 $DX$ 的计算、二项分布与超几何分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-19 解-离散型随机变量及其分布列
• 2013年陕西卷理-19
• 2012年陕西卷理-19