2008-陕西卷文-22 解-三次函数单调与公共点

本题导读

(1)增 $(-\infty ,-a)$ 与 $\left(\frac{a}{3},+\infty \right)$，减 $\left(-a,\frac{a}{3}\right)$；(2)$0<a⩽\sqrt{2}$，$h(a)=1-\frac{1}{a}$，值域 $\left(-\infty ,1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$；(3)$a⩽-3$ 或 $a⩾1$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=x^3+a{x}^2-a^{2}x+1$，$g(x)=a{x}^2-2x+1$，其中实数 $a\ne 0$．

(1)若 $a>0$，求函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)当函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象只有一个公共点且 $g(x)$ 存在最小值时，记 $g(x)$ 的最小值为 $h(a)$，求 $h(a)$ 的值域；

(3)若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在区间 $(a,a+2)$ 内均为增函数，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

(1)二次导函数因式分解，零点 $-a$ 与 $\frac{a}{3}$ 的大小由 $a$ 的符号定. (2)$f=g$ 消元后先分解出恒有根 $x=0$，“只有一个公共点”锁定 $a^2⩽2$；$g$ 有最小值再锁定 $a>0$；$h(a)$ 是关于 $a$ 的增函数. (3)$a>0$ 时区间自动落在 $f$ 的右侧增区间，$g^{\prime }$ 的条件给 $a⩾1$；$a<0$ 时区间只能整体落进左侧增区间 $x<\frac{a}{3}$，给 $a⩽-3$.

✅【答案】

点击查看答案

(1)增区间 $(-\infty ,-a)$ 与 $\left(\frac{a}{3},+\infty \right)$，减区间 $\left(-a,\frac{a}{3}\right)$；(2)$\left(-\infty ,1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$；(3)$(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1)当 $a>0$ 时，$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-a^2=(3x-a)(x+a)$，导数的两个零点为 $-a$ 和 $\frac{a}{3}$，且 $-a<\frac{a}{3}$．因此当 $x<-a$ 或 $x>\frac{a}{3}$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $-a<x<\frac{a}{3}$ 时 $f^{\prime }(x)<0$．所以 $f(x)$ 的增区间为 $(-\infty ,-a)$ 和 $\left(\frac{a}{3},+\infty \right)$，减区间为 $\left(-a,\frac{a}{3}\right)$. (2)两函数图象的公共点横坐标满足 $f(x)=g(x)$，即 $x^3+a{x}^2-a^{2}x+1=a{x}^2-2x+1$，整理得 $x\left(x^2+2-a^2\right)=0$．因而 $x=0$ 总是公共点横坐标；当 $a^2>2$ 时，方程 $x^2=a^2-2$ 还给出两个另外的公共点横坐标．因为 $g(x)=a{x}^2-2x+1$ 存在最小值，所以必须有 $a>0$．要使公共点只有一个，必须且只需 $a^2⩽2$，故 $0<a⩽\sqrt{2}$．配方得 $g(x)=a{\left(x-\frac{1}{a}\right)}^2+1-\frac{1}{a}$，所以 $h(a)=1-\frac{1}{a}$．当 $0<a⩽\sqrt{2}$ 时，$h(a)$ 在该区间上递增，且当 $a\to 0^{+}$ 时趋于 $-\infty$，在 $a=\sqrt{2}$ 时取最大值 $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$．因此 $h(a)$ 的值域为 $\left(-\infty ,1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$. (3)$f^{\prime }(x)=(3x-a)(x+a)$，$g^{\prime }(x)=2ax-2=2(ax-1)$．先考虑 $a>0$．由于 $x\in (a,a+2)$ 时 $x>a>\frac{a}{3}$ 且 $x+a>0$，所以 $f^{\prime }(x)>0$ 在区间内恒成立．要使 $g^{\prime }(x)>0$ 对区间内一切 $x$ 成立，即 $ax>1$ 对一切 $x\in (a,a+2)$ 成立，只需 $a\cdot a⩾1$，即 $a⩾1$；当 $a=1$ 时，区间为开区间 $(1,3)$，仍有 $ax=x>1$，满足题意．故正数情形给出 $a⩾1$. 再考虑 $a<0$．此时 $f^{\prime }(x)>0$ 的区域为 $x<\frac{a}{3}$ 或 $x>-a$．由于 $a<0$ 时整个区间 $(a,a+2)$ 不可能位于 $x>-a$ 的区域内，要使其位于左侧增区间内，必须有 $a+2⩽\frac{a}{3}$，即 $a⩽-3$．对于 $a⩽-3$，对 $x\in (a,a+2)$，由 $a<0$ 与 $x<a+2$ 得 $ax>a(a+2)$，而 $a(a+2)=a^2+2a⩾3>1$，所以 $g^{\prime }(x)=2(ax-1)>0$，满足题意．反之，若 $-3<a<0$，则 $\frac{a}{3}<a+2$，区间内存在 $x$ 使 $\frac{a}{3}<x<-a$，此时 $f^{\prime }(x)<0$，不满足题意．因此负数情形给出 $a⩽-3$. 综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次多项式函数的单调性与含参分类讨论

核心方法：$f^{\prime }(x)$ 因式分解定零点排单调表；公共点个数化为 $x(x^2+2-a^2)=0$ 的实根个数；(3)按 $a>0$、$a<0$ 两类把区间放进导函数的正区间

避坑指南：$g(x)$ 有最小值要求 $a>0$（开口向上），$a<0$ 时只有最大值；$h(a)=1-\frac{1}{a}$ 在 $\left(0,\sqrt{2}\right]$ 上递增，区间左开右闭

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材导数应用综合题：单调区间、公共点个数与区间增函数的叠加

结论推广：$f^{\prime }(x)=(3x-a)(x+a)$ 的零点 $-a$ 与 $\frac{a}{3}$ 的相对大小随 $a$ 的符号变化，这是分类讨论的根源

方法推广：含参三次函数程序化三步：分解因式 $\to$ 按 $a$ 的符号排零点 $\to$ 列单调表；“公共点个数”先分解出恒有根，再看剩余方程何时有实根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2006-陕西卷理-22 解-数列递推与不动点
• 2015-陕西卷理-21 解-等比数列
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系