2008-陕西卷理-07 单-对数

本题导读

本题考查反函数的概念与性质、对数的运算性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知函数 $f(x)=2^{x+3}$，$f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，若 $mn=16(m,n\in {\mathbf{R}}^{+})$，则 $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)$ 的值为 ()

A. $-2$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：根据反函数的定义，由 $y=2^{x+3}$ 反解出 $x$，从而得到反函数 $f^{-1}(x)$ 的显式对数解析式。
2. 第二步逻辑：将 $m$ 和 $n$ 分别代入反函数，利用对数运算性质 ${\log }_{a}m+{\log }_{a}n={\log }_a(mn)$ 将表达式进行合并，整体代入 $mn=16$ 即可求值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=2^{x+3}$，两边取以 2 为底的对数得： ${\log }_{2}y=x+3⟹x={\log }_{2}y-3$ 交换自变量与因变量，得到反函数为： $f^{-1}(x)={\log }_{2}x-3$ 则待求式为： $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)=({\log }_{2}m-3)+({\log }_{2}n-3)={\log }_{2}m+{\log }_{2}n-6$ 根据对数的运算性质合并： $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)={\log }_2(mn)-6$ 因为 $mn=16$，代入上式得： ${\log }_{2}16-6=4-6=-2$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与对数函数的互反关系、对数的基本运算律。
2. 核心方法：公式代入与整体代换法。
3. 避坑指南：求反函数时易将常数项移项时的符号弄错，例如误记为 $x={\log }_{2}y+3$。此外，两个 $-3$ 相加得到 $-6$，计算时不要漏掉其中一个。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查互为反函数的两个函数图象及运算的内在对称性，是典型的考查对数与指数互逆运算的基础小题。
2. 结论推广：若 $f(x)=a^{x+k}(a>0,a\ne 1)$，则其反函数满足 $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)={\log }_a(mn)-2k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-03 单-对数函数奇偶对称
• 2010-四川卷文-02 单-对数函数图象
• 2010-大纲卷II文-04 单-对数反函数