2008-陕西卷理-13 填-数列

本题导读

本题考查数列极限的基础计算，通过分子分母同除以最高次项转化为确定极限形式，侧重考查基本运算能力。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） ${\lim }_{n\to \infty }\frac{(1+a)n+1}{n+a}=2$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同时除以 $n$，将极限式变形。
2. 令 $n\to \infty$，利用 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ 求解含 $a$ 的方程。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除以 $n$ 得：${\lim }_{n\to \infty }\frac{(1+a)+\frac{1}{n}}{1+\frac{a}{n}}=2$。 因为 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a}{n}=0$， 所以 $1+a=2$，解得 $a=1$。

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列极限的运算法则。
2. 核心方法：抓大头（分子分母同除以最高次项）。
3. 避坑指南：注意当 $a=-1$ 时分子变为常数 $1$，极限为 $0\ne 2$，此题隐含要求首项系数不为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中数列极限的基本运算法则练习题。
2. 结论推广: 对于有理分式极限，当分子分母次数相同时，极限值等于最高次项系数之比，即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{A{n}^k+\dots }{B{n}^k+\dots }=\frac{A}{B}$。

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