2008-陕西卷理-14 填-球

本题导读

本题将长方体几何特征与球的外接模型及球面距离相结合，考查空间想象能力、几何转化思想以及球面几何的数值计算。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的各顶点都在球 $O$ 的球面上，其中 $AB:AD:A{A}_1=1:1:\sqrt{2}$.$A,B$ 两点的球面距离记为 $m$，$A,D_1$ 两点的球面距离记为 $n$，则 $\frac{m}{n}$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设出棱长，利用长方体体对角线长等于外接球直径求出球半径 $R$。
2. 分别求出弦长 $AB$ 和 $A{D}_1$，在对应的以球心为顶点的三角形中求出对应的球心角。
3. 由球面距离公式（弧长公式 $s=R\theta$）求出 $m$ 和 $n$，进而求比值。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $AB=1,AD=1,A{A}_1=\sqrt{2}$，则长方体体对角线长为 $\sqrt{1^2+1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=2$。 故外接球直径 $2R=2$，即半径 $R=1$。

• 对于 $m$：弦长 $AB=1$。在 $△OAB$ 中，$OA=OB=R=1,AB=1$，则 $△OAB$ 为等边三角形，球心角 $\angle AOB=\frac{\pi }{3}$，故球面距离 $m=1\times \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。
• 对于 $n$：在 $\text{Rt}△AD{D}_1$ 中，$AD=1,D{D}_1=\sqrt{2}$，则弦长 $A{D}_1=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。在 $△OA{D}_1$ 中，$OA=O{D}_1=1,A{D}_1=\sqrt{3}$，由余弦定理得 $\cos \angle AO{D}_1=\frac{1^2+1^2-(\sqrt{3}{)}^2}{2\times 1\times 1}=-\frac{1}{2}$，解得球心角 $\angle AO{D}_1=\frac{2\pi }{3}$，故球面距离 $n=1\times \frac{2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$。

因此，$\frac{m}{n}=\frac{\frac{\pi }{3}}{\frac{2\pi }{3}}=\frac{1}{2}$。

故答案为：$\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：长方体外接球半径公式 $2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，球面距离即大圆弧长。
2. 核心方法：空间弦长、半径与球心角的转化。
3. 避坑指南：容易错把空间直线距离（弦长）直接当成球面距离；求球心角时如果忽视其余弦值为负，易错求为锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自立体几何中多面体与球的组合体问题，是考查空间向量或传统多面体性质的经典衍生题。
2. 结论推广: 若长方体三边比为 $a:b:c$，任意两顶点球面距离之比，均可通过求两点间弦长并结合球半径转化为其对应大圆圆心角之比。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-上海卷理-08 填-球
• 2009-四川卷文-09 单-球面距离