2009-上海卷理-05 填-立体几何

本题导读

本题考查异面直线所成的角、正四棱柱的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 如图，若正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成角的大小是$\underline{}$．（结果用反三角函数表示）

🔍【思路分析】

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1. 平移转化：根据正四棱柱的性质，底面为正方形，故 $AD\parallel BC$。从而异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成的角可等价转化为共面直线 $B{D}_1$ 与 $BC$ 所成的角 $\angle D_{1}BC$。

2. 解直角三角形：证明 $△BC{D}_1$ 是以 $C$ 为直角顶点的直角三角形，求出直角边 $BC$ 与 $D_{1}C$ 的长，利用正切函数求解。

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$\arctan \sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AD\parallel BC$， 所以异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成的角就是 $B{D}_1$ 与 $BC$ 所成的角，即 $\angle D_{1}BC$（或其补角）。 因为 $BC\perp$ 平面 $CD{D}_1{C}_1$，且 $D_{1}C\subset$ 平面 $CD{D}_1{C}_1$， 所以 $BC\perp D_{1}C$，即 $△BC{D}_1$ 是直角三角形。 在直角 $△D_{1}C{C}_1$ 中，底面边长 $CD=2$，高 $C{C}_1=4$， 由勾股定理得：$D_{1}C=\sqrt{C{D}^2+D{D}_1^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。 在直角 $△BC{D}_1$ 中，$\tan \angle D_{1}BC=\frac{D_{1}C}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$。 因为异面直线所成角 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$， 所以 $\angle D_{1}BC=\arctan \sqrt{5}$。 故填 $\arctan \sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的“平移一法”；空间线面垂直关系的判定。

2. 核心方法：寻找平行线进行等价替代，将空间角转化为平面三角形内角。

3. 避坑指南：寻找直角三角形时易错把 $\angle BC{D}_1$ 当成非直角，务必依据线面垂直的性质定理严格判定 $BC\perp D_{1}C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教 A 版立体几何中“空间两直线位置关系”的标准典型例题，属于高考立体几何中档常规题。

2. 结论推广: 对于底面边长为 $a$，高为 $h$ 的正四棱柱，其异面直线 $B{D}_1$ 与 $AD$ 所成角的正切值恒为 $\frac{\sqrt{a^2+h^2}}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{h}{a}\right)}^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$arctan\surd 5.$

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷理-16 解-折叠棱锥
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面