2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面

本题导读

本题考查直三棱柱的几何性质与线面平行。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=A{A}_1=1$.$D$ 是棱 $C{C}_1$ 上的一点，$P$ 是 $AD$ 的延长线与 $A_1{C}_1$ 的延长线的交点，且 $P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$.

(1) 求证：$CD=C_{1}D$；

(2) 求二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值；

(3) 求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：

• 利用 $P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$，结合线面平行的性质定理（面面交线平行定理）：平面 $A_1{C}_{1}P$ 与平面 $BD{A}_1$ 相交于直线 $A_{1}D$，因为 $P{B}_1\subset$ 平面 $A_1{C}_{1}P$ 且 $P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$，所以 $P{B}_1\parallel A_{1}D$；
• 利用三角形中的平行线分线段成比例定理，结合 $A{A}_1\parallel C{C}_1$，推导得出 $C_{1}D=DC$。

2. 对 (2)：

• 建立以 $A_1$ 为原点的空间直角坐标系，写出各关键点 $A,B,D,A_1,B_1,C$ 的坐标；
• 利用向量法分别求出平面 $A{A}_{1}D$ 与平面 $B{A}_{1}D$ 的法向量，利用向量夹角公式计算二面角的余弦值。

3. 对 (3)：

• 由 (1) 确定点 $D$ 的坐标及点 $P$ 的坐标，进而得到平面 $B_{1}DP$ 的法向量；
• 利用点到平面的距离向量公式求出点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

(3) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $P{B}_1\parallel$ 平面 $BD{A}_1$，且 $P{B}_1\subset$ 平面 $A_1{C}_{1}P$，平面 $A_1{C}_{1}P\cap$ 平面 $BD{A}_1=A_{1}D$， 根据直线与平面平行的性质定理，可得： $P{B}_1\parallel A_{1}D$ 在 $△P{A}_{1}A$ 中，$A_{1}D\parallel P{B}_1$，由平行线分线段成比例定理得： $\frac{A_1{C}_1}{C_{1}P}=\frac{A{A}_1}{CD}$ 又因为在直三棱柱中，$A{A}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，且 $A_1{C}_1\perp C_{1}P$（因为 $\angle B_1{A}_1{C}_1=90^{\circ }$，延长线对应垂直）， 由 $A{A}_1=C{C}_1=1$，且 $A_1{C}_1=1$， 在 $△A_1{C}_{1}P$ 中，由于 $A_{1}D\parallel P{B}_1$，且 $B_1$ 为 $A_1{C}_1$ 中点（或由比例关系）： 因为 $A_1{B}_1=B_1{C}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$（底面等腰直角三角形斜边长为 $\sqrt{2}$，$\angle B_1{A}_1{C}_1=90^{\circ }$，$A_1{B}_1=A_1{C}_1=1$）， 由 $P{B}_1\parallel A_{1}D$ 及 $A_1$ 为 $C_{1}P$ 的等分点可直接推得： $C_{1}D=CD$ （即 $D$ 为棱 $C{C}_1$ 的中点）。

(2) 以 $A_1$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{A_1{B}_1},\overrightarrow{A_1{C}_1},\overrightarrow{A_{1}A}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $A_1-xyz$。 由题设 $AB=AC=A{A}_1=1$，$\angle BAC=90^{\circ }$， 各点坐标为： $A_1(0,0,0),B_1(1,0,0),C_1(0,1,0),A(0,0,1)$ 因为 $D$ 是 $C{C}_1$ 的中点，且 $C{C}_1\parallel A{A}_1$， 所以点 $D$ 的坐标为 $\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$。 从而： $\overrightarrow{A_{1}D}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right),\overrightarrow{A_{1}A}=(0,0,1),\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,1)$

• 求平面 $A{A}_{1}D$ 的法向量： 显然 $y$ 轴垂直于平面 $A{A}_{1}D$，故可取平面 $A{A}_{1}D$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$
• 求平面 $B{A}_{1}D$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=y+\frac{1}{2}z=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=x+z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}z\\ x=-z\end{array}$ 取 $z=2$，则 $x=-2,y=-1$。 所以平面 $B{A}_{1}D$ 的一个法向量为： ${\mathbf{n}}_2=(-2,-1,2)$ 设二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角为 $\theta$（由图知为锐角），则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|1\times (-2)+0+0|}{1\times \sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$ 故二面角 $A-A_{1}D-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。

(3) 由 (1) 知 $P$ 是 $AD$ 延长线与 $A_1{C}_1$ 延长线的交点。 利用直线 $AD$ 的参数方程或向量关系： $A(0,0,1)$，$D\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$， $\overrightarrow{AD}=\left(0,1,-\frac{1}{2}\right)$ 直线 $AD$ 的方程为 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=t\\ z=1-\frac{1}{2}t\end{array}$。 当 $z=0$（即在平面 $A_1{B}_1{C}_1$ 所在的 $z=0$ 平面上）时，$1-\frac{1}{2}t=0⟹t=2$，此时 $y=2$。 故点 $P$ 的坐标为 $(0,2,0)$。 已知点 $C$ 的坐标为 $C_1$ 在上层对应点，即 $C(0,1,1)$。 求点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离： 已知 $B_1(1,0,0)$，$D\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，$P(0,2,0)$。 $\overrightarrow{B_{1}D}=\left(-1,1,\frac{1}{2}\right),\overrightarrow{B_{1}P}=(-1,2,0)$ 设平面 $B_{1}DP$ 的法向量为 $\mathbf{m}=(X,Y,Z)$，则： $\{\begin{array}{l}\mathbf{m}\cdot \overrightarrow{B_{1}D}=-X+Y+\frac{1}{2}Z=0\\ \mathbf{m}\cdot \overrightarrow{B_{1}P}=-X+2Y=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}X=2Y\\ Z=-2(X-Y)=-2Y\end{array}$ 取 $Y=1$，则 $X=2,Z=-2$。 所以平面 $B_{1}DP$ 的一个法向量为： $\mathbf{m}=(2,1,-2)$ 取平面内一点 $B_1(1,0,0)$，连接 $\overrightarrow{C{B}_1}=(1,-1,-1)$。 点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{C{B}_1}\cdot \mathbf{m}|}{|\mathbf{m}|}=\frac{|1\times 2+(-1)\times 1+(-1)\times (-2)|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|2-1+2|}{\sqrt{9}}=\frac{3}{3}=1$ 故点 $C$ 到平面 $B_{1}DP$ 的距离为 1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面平行性质定理应用、空间直角坐标系建立、二面角向量法、点到平面距离公式。
• 核心方法：
• 证明线面平行关键在于利用线面平行的性质定理找到交线平行；
• 距离计算统一转化为法向量与向量点乘的绝对值除以法向量模长。
• 避坑指南：求点 $P$ 坐标时切勿凭直觉硬算，利用直线参数方程令 $z=0$ 对应 $A_1{C}_1$ 延长线交点最稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版/川教版立体几何综合解答题常考题型，融合了图形交线定理、向量法求角与距离。
• 结论推广：在直三棱柱中，若过底面边长等比分割点作平行平面，其截线与延展交点满足固定的仿射几何比例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-19
• 2006-湖南卷理-18 解-点到平面的距离
• 2008-大纲卷I文-16 填-翻折点面距离