2009-北京卷文-03 单-幂的展开求值

本题导读

考查幂的展开。$(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$，再平方得 $17+12\sqrt{2}$，$a+b=29$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 若 ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^4=a+b\sqrt{2}$（$a$，$b$ 为有理数），则 $a+b=$ ()

A. $33$　　　　　　　B. $29$　　　　　　　C. $23$　　　　　　　D. $19$

🔍【思路分析】

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1. $(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$。
2. $(3+2\sqrt{2}{)}^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$。
3. $a+b=17+12=29$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$(1+\sqrt{2}{)}^2=1+2\sqrt{2}+2=3+2\sqrt{2}$，故 ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^4=(3+2\sqrt{2}{)}^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}.$ 由 $a$，$b$ 为有理数及无理数表示的唯一性，$a=17$，$b=12$，故 $a+b=29$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：幂的展开求值

核心方法：逐次平方避免直接展开四次方

避坑指南：$a$，$b$ 为有理数时用”有理部分、无理部分分别相等”，$a=17$、$b=12$ 别把 $\sqrt{2}$ 的系数算进 $a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含无理数的幂展开是北京卷常用小题。

结论推广：$(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$ 是常用中间量。

方法推广：四次方分两步平方做，比二项式定理逐项展开更快更稳。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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• 2011-湖北卷文-12 填-二项式特定项
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