2011-四川卷文-13 填-二项式特定项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） $(x+1{)}^9$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：通项 $T_{k+1}=C_9^k{x}^k$
2. 步骤2：取 $k=3$ 得 $C_9^3=84$

✅【答案】

点击查看答案

$84$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}=C_9^k{x}^{9-k}\cdot 1^k$？按 $x$ 的幂整理：$(x+1{)}^9$ 的通项为 $T_{k+1}=C_9^k{x}^{9-k}$。 令 $9-k=3$，得 $k=6$，系数 $C_9^6=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{6}=84$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理通项公式；组合数 $C_9^3$ 的计算。

核心方法：写通项 → 令幂指数等于目标次数 → 求组合数值。

避坑指南：$(x+1{)}^9$ 按 $x$ 降幂书写时 $x^3$ 对应 $k=6$（若按 $(1+x{)}^9$ 升幂写则 $k=3$），两种写法差在指标方向，结果 $C_9^6=C_9^3$ 一致；直接写 $C_9^3$ 前需确认自己的通项方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项系数是填空高频题，2011 重庆文 11、2012 四川文 02 与本题同型。

结论推广：$(x+1{)}^9$ 各项系数恰为杨辉三角第 9 行：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，$x^3$ 系数 84 可直接读出。

方法推广：二项式小题先固定通项方向，再令指数对号；对称性 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 可减少计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项
• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项