2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积

本题导读

考查双曲线与数量积。$b^2=2$，$c=2$，$P(\sqrt{3},y_0)$ 满足 $y_0^2=1$，$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x_0^2-c^2+y_0^2=3-4+1=0$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其一条渐近线方程为 $y=x$，点 $P(\sqrt{3},y_0)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=$ ()

A. $-12$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 渐近线 $y=\pm \frac{b}{\sqrt{2}}x$，$y=x$ 给出 $b^2=2$。
2. $c^2=2+2=4$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$。
3. $P$ 在双曲线上：$\frac{3}{2}-\frac{y_0^2}{2}=1$，$y_0^2=1$。
4. $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+y_0^2=-(4-3)+1=0$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{\sqrt{2}}x$， 由一条渐近线为 $y=x$，得 $b^2=2$，于是 $c^2=2+2=4$，$F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$。 点 $P(\sqrt{3},y_0)$ 在双曲线上，$\frac{3}{2}-\frac{y_0^2}{2}=1$，故 $y_0^2=1$。 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+y_0^2=-(4-3)+1=0.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线定参与数量积

核心方法：$y=x$ 给 $b^2=2$；$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=|PO{|}^2-c^2$

避坑指南：极化恒等式：$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x_0^2+y_0^2-c^2=4-4=0$，无需展开。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

结论推广：焦点在 $x$ 轴：$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$c^2=a^2+b^2$。

方法推广：数量积为零 $⟺P{F}_1\perp P{F}_2$，点 $P$ 在以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆上，可几何验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-大纲卷II文-08 单-双曲线渐近线切圆