2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率

本题导读

考查双曲线与抛物线位置关系。渐近线 $y=kx$ 与 $y=x^2+1$ 相切 $⟺$ 二次方程判别式为零，得 $k=2$，离心率 $e=\sqrt{1+k^2}$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的渐近线与抛物线 $y=x^2+1$ 相切，则该双曲线的离心率等于 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设渐近线 $y=kx$（$k>0$），代入 $y=x^2+1$ 得 $x^2-kx+1=0$。
2. 相切 $⟺\Delta =k^2-4=0⟺k=2$。
3. $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+k^2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线渐近线的斜率绝对值为 $k=\frac{b}{a}>0$，则渐近线可写为 $y=\pm kx$。 直线 $y=kx$ 与抛物线 $y=x^2+1$ 相切时，方程 $x^2-kx+1=0$ 有两个相等的实根，故 $k^2-4=0$，由 $k>0$ 得 $k=2$。 从而 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+k^2}=\sqrt{5},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线与离心率

核心方法：相切判别式定 $k$ + $e=\sqrt{1+k^2}$

避坑指南：相切等价于二次方程判别式为零；$k=\frac{b}{a}$ 是渐近线斜率的绝对值，别取负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线离心率与渐近线互化是圆锥曲线高频小题。

结论推广：$e^2=1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2$，知道 $e$ 与斜率可互相反推。

方法推广：直线与抛物线”相切”固定用判别式法转化为方程的根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线