2009-四川卷理-07 单-双曲线

本题导读

本题将双曲线的几何性质与平面向量数量积相结合。关键在于通过渐近线方程确定双曲线的待定参数，再利用点在曲线上的方程关系求解向量积。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其一条渐近线方程为 $y=x$，点 $P(\sqrt{3},y_0)$ 在该双曲线上，则 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=$ ()

A. -12　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线渐近线方程公式 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 及已知条件 $y=x$ 求出 $b$ 的值，确定双曲线方程与焦点坐标。
2. 将点 $P(\sqrt{3},y_0)$ 代入双曲线方程，求出 $y_0^2$ 的值。
3. 写出向量 $\overrightarrow{P{F}_1}$ 与 $\overrightarrow{P{F}_2}$ 的坐标表示，计算其数量积。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知 $a^2=2⟹a=\sqrt{2}$。 其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 因为一条渐近线方程为 $y=x$，所以 $\frac{b}{a}=1⟹b=a=\sqrt{2}$，即 $b^2=2$。 则双曲线方程为 $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$。 由此可得 $c^2=a^2+b^2=2+2=4⟹c=2$。 故焦点坐标为 $F_1(-2,0)$，$F_2(2,0)$。

因为点 $P(\sqrt{3},y_0)$ 在该双曲线上，代入方程得： $\frac{(\sqrt{3}{)}^2}{2}-\frac{y_0^2}{2}=1⟹\frac{3}{2}-\frac{y_0^2}{2}=1⟹y_0^2=1$

根据向量的坐标运算： $\overrightarrow{P{F}_1}=(-2-\sqrt{3},-y_0),\overrightarrow{P{F}_2}=(2-\sqrt{3},-y_0)$ $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+(-y_0)(-y_0)=(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)+y_0^2$ $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(3-4)+1=-1+1=0$

故正确选项为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线方程与焦点半径关系，向量数量积的坐标运算。
2. 核心方法：坐标解析法；利用双曲线焦点性质结论：对焦点在 $x$ 轴上的双曲线，若 $P(x_0,y_0)$ 在曲线上，则 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x_0^2+y_0^2-c^2$。直接代入可得 $3+1-4=0$。
3. 避坑指南：求渐近线时注意焦点位置，本题焦点在 $x$ 轴上，斜率为 $\frac{b}{a}$；计算向量坐标时注意“终点坐标减起点坐标”，避免符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于典型的解析几何与向量的综合小题，利用向量数量积为0这一特征考查垂直关系，是高考客观题中的高频题型。
2. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点 $P(x_0,y_0)$，恒有 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x_0^2+y_0^2-c^2$。若数量积为 $0$，说明以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆恰好通过点 $P$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心