2009-四川卷理-10 单-线性规划

本题导读

本题是一道实际应用背景下的线性规划问题。需要通过阅读材料提炼出二元一次不等式组（约束条件）与目标函数，利用图解法在可行域顶点处找到使利润最大的最优解。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 $A$ 原料 3 吨、$B$ 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 $A$ 原料 1 吨、$B$ 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 $A$ 原料不超过 13 吨，$B$ 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是 ()

A. 12 万元　　　B. 20 万元　　　C. 25 万元　　　D. 27 万元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设生产甲产品 $x$ 吨，乙产品 $y$ 吨，根据 $A,B$ 两种原料的上限限制及非负约束列出不等式组。
2. 写出总利润的目标函数表达式 $z=5x+3y$。
3. 通过联立边界方程求出可行域的各顶点坐标，代入目标函数比对大小得出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

设该企业在一个生产周期内生产甲产品 $x$ 吨，乙产品 $y$ 吨（其中 $x\ge 0,y\ge 0$）。 由题意可列出约束条件： $\{\begin{array}{l}3x+y\le 13\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$ 目标函数（总利润）为：$z=5x+3y$。

在第一象限内作出该不等式组所表示的平面区域（可行域）。 联立边界直线方程： $\{\begin{array}{l}3x+y=13\\ 2x+3y=18\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$ 由此得到可行域在第一象限内部的交点顶点为 $M(3,4)$。

可行域的所有顶点坐标分别为 $(0,0)$，$\left(\frac{13}{3},0\right)$，$(0,6)$ 以及 $M(3,4)$。 将这些顶点坐标分别代入目标函数 $z=5x+3y$ 进行计较：

• 当 $x=0,y=0$ 时，$z=0$；
• 当 $x=\frac{13}{3},y=0$ 时，$z=5\times \frac{13}{3}=\frac{65}{3}\approx 21.67$；
• 当 $x=0,y=6$ 时，$z=3\times 6=18$；
• 当 $x=3,y=4$ 时，$z=5\times 3+3\times 4=15+12=27$。

对比可知，当 $x=3,y=4$ 时，目标函数 $z$ 取得最大值 27。 即该企业可获得的最大利润是 27 万元。

故正确选项为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：把实际问题转化为数学上的二元一次不等式组模型，线性规划的最优解。
2. 核心方法：图解法中平移直线确定最值点，或直接代入边界顶点法。
3. 避坑指南：列不等式时需注意“不超过”对应的是“$\le$”符号；实际应用题中隐藏的非负条件 $x\ge 0,y\ge 0$ 不能遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为经典的运筹学资源分配问题在中学数学中的投影，契合教材中“简单的线性规划”章节的应用题原型，着重考查学生的数学建模与数据处理能力。
2. 结论推广：对于一般的线性规划最大化利润问题 $z=Ax+By$，若可行域由相交凸多边形组成，且目标函数的斜率介于两边界直线斜率之间，则最大值必然在两边界直线的交点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明