2009-四川卷理-16 填-向量

本题导读

本题是一道大学线性代数背景的高考新定义创新题。考查核心在于严格依据给定的“线性变换”定义式，通过代数变形与赋值法对四个命题的结构进行逐一检验。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 设 $V$ 是已知平面 $M$ 上所有向量的集合. 对于映射 $f:V\to V,\mathbf{a}\in V$, 记 $\mathbf{a}$ 的象为 $f(\mathbf{a})$. 若映射 $f:V\to V$ 满足: 对所有 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$ 及任意实数 $\lambda ,\mu$ 都有 $f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})$, 则 $f$ 称为平面 $M$ 上的线性变换. 现由下列命题: ① 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换, 则 $f(0)=0$; ② 对 $\mathbf{a}\in V$, 设 $f(\mathbf{a})=2\mathbf{a}$, 则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换; ③ 若 $\mathbf{e}$ 是平面 $M$ 上的单位向量, 对 $\mathbf{a}\in V$, 设 $f(\mathbf{a})=\mathbf{a}-\mathbf{e}$, 则 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换; ④ 设 $f$ 是平面 $M$ 上的线性变换, $\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$, 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线, 则 $f(\mathbf{a}),f(\mathbf{b})$ 也共线. 其中真命题是$\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 ①，利用赋零法，令系数 $\lambda =\mu =0$ 校验零向量的象。
2. 对 ②，将具体映射关系代入定义式的左右两端，验证等式是否恒成立。
3. 对 ③，利用 ① 的必要条件结论，验证零向量的象是否为零向量。
4. 对 ④，利用向量共线的代数表示形式 $\mathbf{b}=k\mathbf{a}$，结合线性变换的齐次性展开推导。

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①②④

✍【详细解析】

Abstract

• 对于命题 ①： 在关系式 $f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})$ 中，令 $\lambda =\mu =0$， 则左边 $=f(0\mathbf{a}+0\mathbf{b})=f(0)$， 右边 $=0\cdot f(\mathbf{a})+0\cdot f(\mathbf{b})=0$， 故 $f(0)=0$ 恒成立，① 为真命题。

• 对于命题 ②： 因为 $f(\mathbf{a})=2\mathbf{a}$，所以对于任意的 $\mathbf{a},\mathbf{b}\in V$ 及实数 $\lambda ,\mu$，有： 左边 $=f(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=2(\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b})=2\lambda \mathbf{a}+2\mu \mathbf{b}$， 右边 $=\lambda f(\mathbf{a})+\mu f(\mathbf{b})=\lambda (2\mathbf{a})+\mu (2\mathbf{b})=2\lambda \mathbf{a}+2\mu \mathbf{b}$， 左边 $=$ 右边，满足定义，② 为真命题。

• 对于命题 ③： 若 $f$ 为线性变换，由 ① 可知必有 $f(0)=0$。 而当 $f(\mathbf{a})=\mathbf{a}-\mathbf{e}$ 时， $f(0)=0-\mathbf{e}=-\mathbf{e}$。 因为 $\mathbf{e}$ 是单位向量，所以 $-\mathbf{e}\ne 0$，这与线性变换的性质矛盾，③ 为假命题。

• 对于命题 ④： 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 共线，分两种情况讨论： 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 中至少有一个为零向量，不妨设 $\mathbf{a}=0$，由 ① 知 $f(\mathbf{a})=0$，而零向量与任意向量共线，结论成立； 若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 均为非零向量，则存在唯一实数 $k$ 使得 $\mathbf{b}=k\mathbf{a}$。 根据线性变换定义（令 $\lambda =k,\mu =0$）： $f(\mathbf{b})=f(k\mathbf{a})=f(k\mathbf{a}+0\mathbf{b})=kf(\mathbf{a})+0\cdot f(\mathbf{b})=kf(\mathbf{a})$ 这说明向量 $f(\mathbf{b})$ 可由 $f(\mathbf{a})$ 数乘表示，故 $f(\mathbf{a}),f(\mathbf{b})$ 共线，④ 为真命题。

综上所述，真命题的序号是 ①②④。

答案为：①②④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性变换的性质（包括 $f(0)=0$ 和可加性、齐次性），向量共线的充要条件。
2. 核心方法：性质反驳法（用 $f(0)\ne 0$ 快速否定非线性变换）、数乘递推法。
3. 避坑指南：证明 ④ 时极易遗漏零向量的特殊情况。应明确“零向量与任何向量共线”这一基本工具结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学中《线性代数》的“线性空间与线性变换”章节。命题 ①、②、④ 分别是线性变换最基础的性质定理和标准实例（数乘变换），命题 ③ 则是平移变换（仿射变换而非线性变换）的典型反例。
2. 结论推广：平面上的线性变换能够保持几何图形的共线共点性、平行性以及线段的比例不变性。即若点 $C$ 在线段 $AB$ 上满足 $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$，经线性变换后必有 $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=k\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心