2009-四川卷理-22 解-等比数列

本题导读

本题是一道关于数列与不等式综合的压轴大题。第一问通过 $a_n$ 与 $S_n$ 的递推关系求出等比数列通项；第二问利用精准的指数放缩法配合等比材料证得不等式；第三问利用递推项的趋向性，结合极限思想确定恒成立问题的最值边界。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，对任意密的正整数 $n$，都有 $a_n=5S_n+1$ 成立，记 $b_n=\frac{4+a_n}{1-a_n}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$).

(1) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 记 $c_n=b_{2n}-b_{2n-1}$ ($n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)，设数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求证：对任意正整数 $n$ 都有 $T_n<\frac{3}{2}$；

(3) 设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $R_n$. 已知正实数 $\lambda$ 满足：对任意正整数 $n$，$R_n\le \lambda n$ 恒成立，求 $\lambda$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用 $a_n=5S_n+1$ 与 $a_{n-1}=5S_{n-1}+1$ ($n\ge 2$) 相减，得到 $\{a_n\}$ 的公比，再求出首项即可得到 $a_n$，代入化简 $b_n$。
2. 第二问：写出 $c_n$ 的具体表达式并进行通分化简。由于直接求和困难，需对 $n\ge 2$ 的项进行合理的等比放缩，将其转化为可求和的等比数列，再与首项 $c_1$ 相加求上界。
3. 第三问：将 $R_n\le \lambda n$ 转化为 $\lambda \ge \frac{R_n}{n}$。分析 $b_n$ 当 $n\to \infty$ 时的极限值，推导 $\frac{R_n}{n}$ 的渐近线，并结合各项的符号特征确定其单调上界。

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$\lambda$ 的最小值为 4

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $n=1$ 时， $a_1=5S_1+1=5a_1+1⟹a_1=-\frac{1}{4}$。 当 $n\ge 2$ 时，由 $a_n=5S_n+1$ 及 $a_{n-1}=5S_{n-1}+1$ 相减得： $a_n-a_{n-1}=5(S_n-S_{n-1})=5a_n⟹-4a_n=a_{n-1}⟹\frac{a_n}{a_{n-1}}=-\frac{1}{4}$ 所以数列 $\{a_n\}$ 是以 $-\frac{1}{4}$ 为首项， $-\frac{1}{4}$ 为公比的等比数列。 则 $a_n=-\frac{1}{4}\times {\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}={\left(-\frac{1}{4}\right)}^n$。

代入 $b_n$ 的表达式中： $b_n=\frac{4+{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(-\frac{1}{4}\right)}^n}$

(2) 证明：由 (1) 可知， 当 $n$ 为偶数时， $b_n=\frac{4+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}=\frac{4\cdot 4^n+1}{4^n-1}=4+\frac{5}{4^n-1}$； 当 $n$ 为奇数时， $b_n=\frac{4-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}{1+{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}=\frac{4\cdot 4^n-1}{4^n+1}=4-\frac{5}{4^n+1}$。

因此， $c_n=b_{2n}-b_{2n-1}=\left(4+\frac{5}{4^{2n}-1}\right)-\left(4-\frac{5}{4^{2n-1}+1}\right)=\frac{5}{4^{2n}-1}+\frac{5}{4^{2n-1}+1}$ 通分整理得： $c_n=\frac{5(4^{2n-1}+1+4^{2n}-1)}{(4^{2n}-1)(4^{2n-1}+1)}=\frac{25\cdot 4^{2n-1}}{4^{4n-1}+3\cdot 4^{2n-1}-1}$

当 $n=1$ 时， $c_1=b_2-b_1=\frac{13}{3}-3=\frac{4}{3}$。 当 $n\ge 2$ 时，因为 $3\cdot 4^{2n-1}-1>0$，所以分母 $4^{4n-1}+3\cdot 4^{2n-1}-1>4^{4n-1}$。 从而可放缩为： $c_n<\frac{25\cdot 4^{2n-1}}{4^{4n-1}}=\frac{25}{4^{2n}}=25\cdot {\left(\frac{1}{16}\right)}^n$

应用等比数列求和公式，对于任意 $n\ge 2$： $T_n=c_1+{\sum }_{k=2}^n{c}_k<\frac{4}{3}+{\sum }_{k=2}^{n}25\cdot {\left(\frac{1}{16}\right)}^k<\frac{4}{3}+\frac{\frac{25}{256}}{1-\frac{1}{16}}=\frac{4}{3}+\frac{25}{256}\times \frac{16}{15}=\frac{4}{3}+\frac{5}{48}=\frac{69}{48}=\frac{23}{16}$ 因为 $\frac{23}{16}<\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$， 所以对任意正整数 $n$ 都有 $T_n<\frac{3}{2}$ 成立。

(3) 解：由题意，正实数 $\lambda$ 满足对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 恒有 $\lambda \ge \frac{R_n}{n}$。 下面考查 $b_{2k-1}+b_{2k}$ 的结构特征： $b_{2k-1}+b_{2k}=4-\frac{5}{4^{2k-1}+1}+4+\frac{5}{4^{2k}-1}=8-5\left(\frac{1}{4^{2k-1}+1}-\frac{1}{4^{2k}-1}\right)$ 因为 $4^{2k}-1>4^{2k-1}+1$ 在 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 下恒成立， 所以 $\frac{1}{4^{2k-1}+1}-\frac{1}{4^{2k}-1}>0$，从而有 $b_{2k-1}+b_{2k}<8$。

• 当 $n$ 为偶数（设 $n=2m$）时： $R_{2m}=(b_1+b_2)+(b_3+b_4)+\cdots +(b_{2m-1}+b_{2m})<8m=4\times (2m)=4n$ 即 $\frac{R_n}{n}<4$。
• 当 $n$ 为奇数（设 $n=2m-1$）时： $R_{2m-1}=R_{2m}-b_{2m}$ 因为 $b_{2m}=4+\frac{5}{4^{2m}-1}>4$，且 $R_{2m}<8m$， 所以 $R_{2m-1}<8m-4=4(2m-1)=4n$，即 $\frac{R_n}{n}<4$。

综上可知，对任意正整数 $n$，总有 $\frac{R_n}{n}<4$ 成立。

另一方面，由于 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，由通项公式可知 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=\frac{4+0}{1-0}=4$。 根据施托尔茨（Stolz）定理或极限的平均值性质可知： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{R_n}{n}={\lim }_{n\to \infty }{b}_n=4$

若 $\lambda <4$，由于 $\frac{R_n}{n}$ 的极限为 4，必然存在某个足够大的正整数 $n_0$ 使得 $\frac{R_{n_0}}{n_0}>\lambda$，这与 $R_n\le \lambda n$ 恒成立矛盾。 因此，必须有 $\lambda \ge 4$。

综上所述， $\lambda$ 的最小值为 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列递推公式求通项，利用公比特征进行不等式放大缩小，恒成立问题中的极限边界确定。
2. 核心方法：等比放缩法（保留前项，对后项从分母切除常数构造标准等比数列），极限夹逼法。
3. 避坑指南：第二问进行放缩时，切忌从 $c_1$ 开始盲目放大，因为 $c_1$ 的分母较小，若从 $n=1$ 统一放缩会导致上界直接穿透 $\frac{3}{2}$，必须采用“保留首项，从第二项起放缩”的精细化处理策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 2009 年四川理科压轴题，其原型源自高等数学中级数的收敛性判定与有界性估计。设计者通过交错型数列 $b_n$ 制造摆动，考查学生在高强度代数变形下的逻辑耐力。
2. 结论推广：对于通项形如 $x_n=A+\frac{B}{k^n\pm 1}(k>1)$ 的数列，其前 $n$ 项和的平均值 $\frac{1}{n}\sum x_n$ 的极限值恒为常数项 $A$。若摆动项的衰减速度快于几何级数，其有界性的最值往往由极限边界或前几项的特殊组合所决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列
• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和