2009-大纲卷I理-04 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线方程与离心率、直线与抛物线相切的条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^2+1$ 相切，则该双曲线的离心率等于 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{6}$

🔍【思路分析】

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1. 写出双曲线的渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
2. 将渐近线方程与抛物线方程联立，利用相切条件 $\Delta =0$ 求出 $\frac{b}{a}$ 的值。
3. 利用双曲线离心率与渐近线斜率的关系公式 $e=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$ 计算得出答案。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 将渐近线方程与抛物线方程 $y=x^2+1$ 联立，消去 $y$ 得： $x^2\pm \frac{b}{a}x+1=0$ 因为渐近线与抛物线相切，所以上述一元二次方程的判别式 $\Delta =0$， 即： $\Delta ={\left(\pm \frac{b}{a}\right)}^2-4\times 1\times 1=0⟹{\left(\frac{b}{a}\right)}^2=4⟹\frac{b}{a}=2$ 则双曲线的离心率： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的几何性质（渐近线、离心率）、直线与抛物线的位置关系（相切）。
2. 核心方法：判别式法确定切线临界条件；或通过导数 $y^{\prime }=2x$ 确定切点坐标及切线斜率。
3. 避坑指南：容易混淆双曲线的渐近线方程，需分清焦点在 $x$ 轴（$y=\pm \frac{b}{a}x$）还是在 $y$ 轴（$y=\pm \frac{a}{b}x$），本题中焦点在 $x$ 轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题结合了圆锥曲线中的双曲线和抛物线，是传统高考解析几何小题的典型联动命题方式。
2. 结论推广：若双曲线渐近线与抛物线 $y=m{x}^2+n$ ($mn>0$) 相切，则可得 ${\left(\frac{b}{a}\right)}^2=4mn$，进而其离心率 $e=\sqrt{1+4mn}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-06 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2012-山东卷文-11 单-双曲线渐近线与抛物线焦点
• 2013-天津卷文-11 填-抛物线与双曲线