2009-大纲卷I理-06 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算、向量的模与夹角，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 设 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 是单位向量，且 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$, 则 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})$ 的最小值为 ()

A. $-2$　　　　　　B. $\sqrt{2}-2$　　　　　　C. $-1$　　　　　　D. $1-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用向量数量积的分配律将目标式 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})$ 展开。
2. 代入已知条件 $|\mathbf{a}|=1,|\mathbf{b}|=1,|\mathbf{c}|=1$ 以及 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 进行化简。
3. 将式子转化为关于 $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 的表达式，并利用向量夹角公式和模的性质求解其最小值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

展开目标式得： $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}+{\mathbf{c}}^2$ 由题意，$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 是单位向量，所以 ${\mathbf{c}}^2=|\mathbf{c}{|}^2=1$。 又 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，代入上式化简得： $0-\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})+1=1-\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 要求该式子的最小值，只需计算 $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 的最大值。 由于 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，且 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=1$，可得： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{{\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}$ 根据数量积的几何意义： $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})=|\mathbf{c}|\cdot |\mathbf{a}+\mathbf{b}|\cdot \cos ⟨\mathbf{c},\mathbf{a}+\mathbf{b}⟩=1\times \sqrt{2}\times \cos ⟨\mathbf{c},\mathbf{a}+\mathbf{b}⟩$ 当 $\cos ⟨\mathbf{c},\mathbf{a}+\mathbf{b}⟩=1$（即 $\mathbf{c}$ 与 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 同向）时，$\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 取得最大值 $\sqrt{2}$。 因此，原式的最小值为 $1-\sqrt{2}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的运算性质、向量模的计算、向量夹角的范围。
2. 核心方法：整体思想（将 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 看作一个整体向量）与最值转化法。
3. 避坑指南：展开时容易漏掉符号或混淆基本运算。在求 $\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ 最大值时，需明确单位向量 $\mathbf{c}$ 的方向是可以任意调整的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于向量投影性质的灵活变形，多见于解析几何与向量交汇的模拟压轴小题。
2. 结论推广：若 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 夹角为 $\theta$，且均系单位向量，则 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{c})$ 的最小值为 $1+\cos \theta -2\cos \frac{\theta }{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心