2009-大纲卷I理-07 单-立体几何

本题导读

本题考查异面直线所成的角、空间向量的数量积，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)）已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影为 $B C$ 的中点，则异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角的余弦值为 ()

A. $\frac{3}{4}$ 　　　　　　　B. $\frac{5}{4}$ 　　　　　　　C. $\frac{7}{4}$ 　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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因为 $C C_{1} ∥ A A_{1}$ ，异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角即为直线 $A B$ 与 $A A_{1}$ 所成的角（或其补角）。

设各棱长均为 1。记 $B C$ 的中点为 $D$ ，则 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ 。

选用向量法，将 $A A_{1}$ 拆分为 $A D + D A_{1}$ ，利用数量积公式求出 $cos ⟨ A B, A A_{1} ⟩$ 。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设三棱柱的所有棱长均为 1，记 $B C$ 的中点为 $D$ 。因为 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影为 $D$ ，所以 $A_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ 。进而 $A_{1} D ⊥ A B$ ，即 $D A_{1} \cdot A B = 0$ 。

因为 $C C_{1} ∥ A A_{1}$ ，所以异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角等于 $A B$ 与 $A A_{1}$ 所成的角（或其补角）。在底面正三角形 $A B C$ 中，高 $A D = \frac{3}{2}$ ，且 $A B$ 与 $A D$ 的夹角为 $3 0^{\circ}$ 。

利用空间向量进行计算： $A B \cdot A A_{1} = A B \cdot (A D + D A_{1}) = A B \cdot A D + A B \cdot D A_{1}$ $A B \cdot A A_{1} = ∣ A B ∣ \cdot ∣ A D ∣ \cdot cos 3 0^{\circ} + 0 = 1 \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$

因为 $∣ A B ∣ = 1$ 且 $∣ A A_{1} ∣ = 1$ ，所以： $cos ⟨ A B, A A_{1} ⟩ = \frac{A B \cdot A A _{1}}{∣ A B ∣ \cdot ∣ A A _{1} ∣} = \frac{\frac{3}{4}}{1 \times 1} = \frac{3}{4}$ 由于结果为正，故异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ 。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线夹角的定义、空间向量基底法、线面垂直的性质。

核心方法：运用平行移动将异面直线转化为相交直线；或者引入空间向量作为基底进行无坐标系代数化简。

避坑指南：异面直线所成的角范围是 $(0, \frac{π}{2}]$ ，若计算出向量夹角的余弦值为负数，最终答案需取其绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源自对特殊非直棱柱几何结构的探索，主要考查射影位置与侧棱姿态的关系。

结论推广：在侧棱与底面边长相等的斜三棱柱中，若顶点的射影在底面某边的中点，则该侧棱与底面另外两条不相邻的边的夹角可以通过此投影分解公式快速求出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程

2011-上海卷文-12 填-向量数量积

2011-上海卷文-18 单-向量和与重心

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2009-大纲卷I理-07 单-立体几何

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