2009-大纲卷I理-10 单-二面角

本题导读

本题考查二面角及其平面角、点到平面的距离，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 已知二面角 $\alpha -l-\beta$ 为 $60^{\circ }$，动点 $P、Q$ 分别在面 $\alpha 、\beta$ 内，$P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}$，$Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $2\sqrt{3}$，则 $P、Q$ 两点之间距离的最小值为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据点到平面的距离和二面角的大小，确定动点 $P$ 和 $Q$ 到二面角棱 $l$ 的垂直距离，从而得知 $P,Q$ 分别在平行于 $l$ 的两条定直线上运动。
2. 当 $PQ$ 垂直于棱 $l$ 时，$P,Q$ 两点之间的距离取得最小值。此时问题转化为垂直于 $l$ 的截面内的平面几何问题，利用余弦定理求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $P$ 在棱 $l$ 上的射影为 $P_0$，因为 $P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}$，二面角为 $60^{\circ }$， 所以 $P$ 到棱 $l$ 的距离为 $P{P}_0=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=2$。这表明动点 $P$ 在面 $\alpha$ 内一条平行于 $l$ 且到 $l$ 距离为 2 的定直线 $l_1$ 上运动。 同理，设 $Q$ 在棱 $l$ 上的射影为 $Q_0$，因为 $Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $2\sqrt{3}$， 所以 $Q$ 到棱 $l$ 的距离为 $Q{Q}_0=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=4$。这表明动点 $Q$ 在面 $\beta$ 内一条平行于 $l$ 且到 $l$ 距离为 4 的定直线 $l_2$ 上运动。 由于 $l_1\parallel l\parallel l_2$，要使 $P,Q$ 两点间距离最小，只需 $P,Q$ 在棱 $l$ 上的射影重合于同一点 $O$（即 $PQ\perp l$）。 此时，在垂直于棱 $l$ 的截面内，$△POQ$ 中，$OP=2,OQ=4,\angle POQ=60^{\circ }$。 由余弦定理得： $P{Q}^2=O{P}^2+O{Q}^2-2OP\cdot OQ\cdot \cos 60^{\circ }$ $P{Q}^2=2^2+4^2-2\times 2\times 4\times \frac{1}{2}=4+16-8=12$ 所以 $P,Q$ 两点之间距离的最小值为 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二面角的平面角定义、空间中点线面距离的相互转化。
2. 核心方法：运用轴截面（或法截面）把空间中的“双动点最值”降维转化为平面三角形内的线段求解。
3. 避坑指南：无需盲目建立复杂的空间直角坐标系。通过几何直观判断出当且仅当 $PQ$ 与棱 $l$ 垂直时距离最近，能极大简化运算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由传统的“异面直线上两点间距离”经典模型演变而来（将两条固定的异面直线替换为两个平面内各自平行的定直线）。
2. 结论推广：若二面角为 $\theta$，动点 $P,Q$ 到棱 $l$ 的距离分别为 $d_1,d_2$，则 $P,Q$ 间距离的最小值为 $\sqrt{d_1^2+d_2^2-2d_1{d}_2\cos \theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2011-四川卷理-11 单-二面角
• 2011-大纲卷文-08 单-直二面角距离