2009-大纲卷I理-15 填-解三角形

本题导读

本题考查直三棱柱的几何性质、多面体的外接球，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的各顶点都在同一球面上. 若 $AB=AC=A{A}_1=2$, $\angle BAC=120^{\circ }$, 则此球的表面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确直三棱柱外接球的半径公式为 $R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$，其中 $r$ 为底面 $△ABC$ 的外接圆半径，$h$ 为棱柱的高 $A{A}_1$。
2. 在底面 $△ABC$ 中，利用余弦定理或正弦定理求出边 $BC$ 的长度，进而通过正弦定理求出 $r$。
3. 计算出 $R^2$ 后，利用球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 得到最终答案。

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$20\pi$

✍【详细解析】

Abstract

在底面 $△ABC$ 中，$AB=AC=2$，$\angle BAC=120^{\circ }$。 由余弦定理得： $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }$ $B{C}^2=2^2+2^2-2\times 2\times 2\times \left(-\frac{1}{2}\right)=4+4+4=12⟹BC=2\sqrt{3}$ 设底面 $△ABC$ 的外接圆半径为 $r$，由正弦定理得： $2r=\frac{BC}{\sin \angle BAC}=\frac{2\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ }}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4⟹r=2$ 由于三棱柱为直三棱柱，高 $h=A{A}_1=2$，设外接球半径为 $R$，则： $R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=2^2+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2=4+1=5$ 因此，该球的表面积为： $S=4\pi R^2=4\pi \times 5=20\pi$ 答案：$20\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直多面体外接球半径的求解模型、正弦定理求三角形外接圆半径。
2. 核心方法：模型解题法，直接利用直柱体核心性质公式 $R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$ 降维拆解。
3. 避坑指南：注意底面 $△ABC$ 钝角三角形外接圆圆心在外部，但这不影响 $2r=\frac{a}{\sin A}$ 公式的使用；计算表面积时不要漏掉 $\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于立体几何传统的核心题型——多面体与球的切接问题，属于稳定常考的高频考点。
2. 结论推广：若直棱柱的底面多边形外接圆半径为 $r$，高为 $h$，其外接球体积 $V=\frac{4}{3}\pi {\left(r^2+\frac{h^2}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$20\pi$

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-10 单-球截面棱锥体积
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2012-新课标卷理-11 单-球与棱锥的组合