2009-大纲卷I理-18 解-二面角

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立与应用、空间向量共线与夹角的坐标运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(理)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，$SD\perp$ 底面 $ABCD$，$AD=\sqrt{2}$，$DC=SD=2$，点 $M$ 在侧棱 $SC$ 上，$\angle ABM=60^{\circ }$.

(1) 证明：$M$ 是侧棱 $SC$ 的中点；

(2) 求二面角 $S-AM-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 依据 $SD\perp$ 底面 $ABCD$，且底面 $ABCD$ 为矩形，可以以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA,DC,DS$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 设出点 $M$ 的参数坐标，通过 $\angle ABM=60^{\circ }$ 列出向量夹角方程，解出参数从而证明中点。
3. 分别求出平面 $SAM$（即平面 $SAC$）与平面 $BAM$ 的法向量，利用法向量夹角公式求出二面角的余弦值。

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $SD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $ABCD$ 为矩形，则 $DA,DC,DS$ 两两互相垂直。 以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA,DC,DS$ 所在直线为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 由题意可得各点坐标为： $D(0,0,0),A(\sqrt{2},0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(\sqrt{2},2,0)$ 则 $\overrightarrow{SC}=(0,2,-2)$。 设 $\overrightarrow{SM}=\lambda \overrightarrow{SC}=(0,2\lambda ,-2\lambda )$，其中 $\lambda \in [0,1]$。 则点 $M$ 的坐标为 $(0,2\lambda ,2-2\lambda )$。 由此可得： $\overrightarrow{BA}=(0,-2,0)$ $\overrightarrow{BM}=(-\sqrt{2},2\lambda -2,2-2\lambda )$ 因为 $\angle ABM=60^{\circ }$，所以： $\cos 60^{\circ }=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BM}|}$ $\frac{1}{2}=\frac{-2(2\lambda -2)}{2\times \sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2+(2\lambda -2{)}^2+(2-2\lambda {)}^2}}=\frac{2(1-\lambda )}{\sqrt{2+8(1-\lambda {)}^2}}$ 两边平方并化简得： $2+8(1-\lambda {)}^2=16(1-\lambda {)}^2⟹8(1-\lambda {)}^2=2⟹(1-\lambda {)}^2=\frac{1}{4}$ 因为 $\lambda \in [0,1]$，所以 $1-\lambda =\frac{1}{2}⟹\lambda =\frac{1}{2}$。 故 $M$ 是侧棱 $SC$ 的中点。

(2) 解： 由(1)知 $\lambda =\frac{1}{2}$，则 $M(0,1,1)$。 由于点 $M$ 在侧棱 $SC$ 上，故平面 $SAM$ 即为平面 $SAC$。 设平面 $SAC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$。 又 $\overrightarrow{AS}=(-\sqrt{2},0,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-\sqrt{2},2,0)$。 由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AS}=0\\ {\mathbf{n}}_1\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}{x}_1+2z_1=0\\ -\sqrt{2}{x}_1+2y_1=0\end{array}$， 令 $x_1=\sqrt{2}$，得 $y_1=1,z_1=1$，故 ${\mathbf{n}}_1=(\sqrt{2},1,1)$。

设平面 $BAM$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$。 又 $\overrightarrow{AB}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{AM}=(-\sqrt{2},1,1)$。 由 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AB}=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AM}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2y_2=0\\ -\sqrt{2}{x}_2+y_2+z_2=0\end{array}$， 令 $x_2=1$，得 $y_2=0,z_2=\sqrt{2}$，故 ${\mathbf{n}}_2=(1,0,\sqrt{2})$。

设二面角 $S-AM-B$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1|\cdot |{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|\sqrt{2}\times 1+1\times 0+1\times \sqrt{2}|}{\sqrt{2+1+1}\times \sqrt{1+0+2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2\times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 所以二面角 $S-AM-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、线线夹角公式的应用、二面角的向量法求解。
2. 核心方法：建系坐标法。在图形存在明显的两两垂直边时，优先考虑建系，可将复杂的空间几何证明转化为代数计算。
3. 避坑指南：在第(2)问中，应敏锐察觉到平面 $SAM$ 与平面 $SAC$ 为同一平面，直接选用 $\overrightarrow{AS}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 求解法向量可使计算更加便捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中利用空间向量研究多面体中垂直与夹角关系的典型例题改编。
2. 结论推广：在有一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥模型中，若已知某个线线角，通过引入分点参数 $\lambda$，可实现对曲线上任意动点位置的精确逆向锁定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2013-重庆卷理-19 解-利用空间向量求二面角
• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程