2009-大纲卷II理-06 单-向量

本题导读

本题主要考查平面向量的模及数量积运算，核心考查通过“模的平方转化为向量自乘”来建立已知量与未知量之间的方程关系。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知向量 $\vec{a}=(2,1)$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=10$, $|\vec{a}+\vec{b}|=5\sqrt{2}$, 则 $|\vec{b}|=$ ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 25

🔍【思路分析】

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1. 根据向量坐标先求出 $|\vec{a}{|}^2$。

2. 将已知条件 $|\vec{a}+\vec{b}|=5\sqrt{2}$ 两边平方，展开为包含 $|\vec{a}{|}^2,\vec{a}\cdot \vec{b},|\vec{b}{|}^2$ 的代数式，代入数据求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a}=(2,1)$，所以 $|\vec{a}{|}^2=2^2+1^2=5$. 将 $|\vec{a}+\vec{b}|=5\sqrt{2}$ 两边平方得： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=(5\sqrt{2}{)}^2$. 代入数据得： $5+2\times 10+|\vec{b}{|}^2=50$, $25+|\vec{b}{|}^2=50⟹|\vec{b}{|}^2=25$. 由于模长非负，故 $|\vec{b}|=5$. 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量模的计算与数量积的性质。

2. 核心方法：两边平方变形技巧，即 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。

3. 避坑指南：计算时注意不要将 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 错误展开为 $|\vec{a}|+|\vec{b}|$；最后的计算结果要进行开方，避免错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：改编自平面向量基本运算的公式推导习题，考查公式的逆向综合运用。

2. 结论推广：已知 $\vec{a}\cdot \vec{b}=m$，$|\vec{a}+\vec{b}|=n$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{2|\vec{a}{|}^2+2|\vec{b}{|}^2-n^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心