2009-大纲卷II理-09 单-抛物线

本题导读

本题结合抛物线定义考查直线与抛物线的交点弦问题，核心在于利用抛物线准线几何特征以及韦达定理建立关于未知参数的方程。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 已知直线 $y=k(x+2)$ ($k>0$) 与抛物线 $C:y^2=8x$ 相交于 $A$、$B$ 两点, $F$ 为 $C$ 的焦点. 若 $|FA|=2|FB|$, 则 $k=$ ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 识别抛物线参数，易知焦点 $F(2,0)$，准线方程为 $x=-2$。直线 $y=k(x+2)$ 恒过定点 $P(-2,0)$，即准线与 $x$ 轴的交点。

2. 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由抛物线定义将几何距离 $|FA|,|FB|$ 转化为横坐标表示，结合已知比例得到 $x_1$ 与 $x_2$ 的线性关系。

3. 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理列出方程组求出 $k$ 值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F(2,0)$，准线方程为 $x=-2$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由抛物线定义得： $|FA|=x_1+2$, $|FB|=x_2+2$. 因为 $|FA|=2|FB|$，所以 $x_1+2=2(x_2+2)⟹x_1=2x_2+2$ ①

联立直线与抛物线方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x+2)\\ y^2=8x\end{array}⟹k^2(x+2{)}^2=8x⟹k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$. 由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{8-4k^2}{k^2}=\frac{8}{k^2}-4$ ② $x_1{x}_2=4$ ③

将①代入③得：$(2x_2+2)x_2=4⟹x_2^2+x_2-2=0$. 解得 $x_2=1$ 或 $x_2=-2$（舍去，因抛物线上的点横坐标 $x\ge 0$）。 将 $x_2=1$ 代入①得 $x_1=4$。 此时 $x_1+x_2=5$，代入②得： $5=\frac{8}{k^2}-4⟹\frac{8}{k^2}=9⟹k^2=\frac{8}{9}$. 因为 $k>0$，所以 $k=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的定义（焦半径公式 $|FA|=x_A+\frac{p}{2}$）及直线与圆锥曲线的联立。

2. 核心方法：利用定点在准线上的几何特性结合韦达定理根的乘积快速破题。

3. 避坑指南：在求解一元二次方程关于 $x_2$ 的值时，务必结合抛物线实际图像舍去不合题意的负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自课本中抛物线焦半径的性质推导，常作为高考中档选择题考查解析几何的基本功。

2. 结论推广：过准线与轴交点的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，若 $\frac{|FA|}{|FB|}=\lambda$，则两交点横坐标的比值满足一定比例，且 $x_1{x}_2={\left(\frac{p}{2}\right)}^2$ 恒成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-11 单-抛物线切线与圆
• 2011-大纲卷理-10 单-抛物线
• 2011-大纲卷理-21 解-抛物线焦点