2009-天津卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的基本代数四则运算，主要测试分母实数化的运算能力。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） $i$ 是虚数单位，$\frac{5i}{2-i}=$ ()

A. $1+2i$　　　　　B. $-1-2i$　　　　　C. $1-2i$　　　　　D. $-1+2i$

🔍【思路分析】

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1. 分子与分母同乘以分母的共轭复数 $2+i$ 进行分母实数化。

2. 利用 $i^2=-1$ 化简复数分子，最后提取出标准的代数形式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{5i}{2-i}=\frac{5i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{10i+5i^2}{4-i^2}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法运算与共轭复数的概念。

2. 核心方法：乘以分母的共轭复数转化成分母为实数的式子。

3. 避坑指南：注意 $i^2=-1$ 的符号变换，避免在分子展开时发生加减号计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中复数概念与四则运算的基础习题，是高考卷中稳定考查的第一题基础型。

2. 结论推广: 对于 $\frac{b\cdot i}{a-i}$ 型复数，其化简通式为 $\frac{-b+ab\cdot i}{a^2+1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算