2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系

本题导读

本题考查圆的方程，以及圆与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)）圆 $(x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ 的位置关系为()

A. 内切　　　　　B. 相交　　　　　C. 外切　　　　　D. 相离

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圆心距 $d = 17$ ，满足 $∣3 - 2∣ < d < 3 + 2$ ，两圆相交。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

两圆圆心分别为 $O_{1} (- 2, 0)$ ， $O_{2} (2, 1)$ ，半径分别为 $r_{1} = 2$ ， $r_{2} = 3$ 。

圆心距 $d = ∣ O_{1} O_{2} ∣ = (2 + 2)^{2} + (1 - 0)^{2} = 17$ 。

因为 $r_{2} - r_{1} = 1 < 17 < 5 = r_{1} + r_{2}$ ，所以两圆相交。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与圆的位置关系判定（圆心距与半径和差比较）

核心方法：算圆心距，与 $r_{1} + r_{2}$ 、 $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 比较定关系

避坑指南： $17 \approx 4.12$ 介于 $1$ 与 $5$ 之间；注意 $- 2$ 到 $2$ 的距离是 $4$ 而非 $2$ ，别把圆心距算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与圆位置关系入口题，与 2014 年湖南卷文第 6 题、2014 年北京卷文第 7 题同族。

结论推广：圆心距 $d$ ： $d > r_{1} + r_{2}$ 外离， $d = r_{1} + r_{2}$ 外切， $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ 相交， $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 内切， $d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ 内含。

方法推广：位置关系题一律”先定圆心半径，再比距离”，比较时可用平方避免开方误差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

2014-湖南卷文-06 单-圆与圆

2014-北京卷文-07 单-两圆公共点

2013-山东卷文-13 填-圆最短弦

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2012-山东卷文-09 单-圆与圆的位置关系

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