2009-天津卷理-16 填-排列组合

本题导读

本题考查排列组合的实际应用，解题关键在于根据“数字之和为偶数”这一性质对后三位数字的奇偶搭配进行分类，并精细处理数字“0”在最高位（千位）的特殊限制。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有$\underline{}$个. (用数字作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取可用数字集合中的奇偶属性：偶数有 $\{0,2,4,6\}$（共4个），奇数有 $\{1,3,5\}$（共3个）。

2. 根据三个数之和为偶数的性质，后三位（百位、十位、个位）的数字组合只能是“3个全为偶数”或“1个偶数和2个奇数”。

3. 针对后三位数字中是否包含数字“0”进行二次分类讨论，以确保千位数字不为 0，最后利用分类加法原理汇总。

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324

✍【详细解析】

Abstract

已知数字中，偶数有 4 个：$0,2,4,6$；奇数有 3 个：$1,3,5$。 要使个位、十位、百位数字之和为偶数，分以下两种大类情况讨论：

第一大类：后三位数字均为偶数

• 若后三位中包含 0：先从其余 3 个偶数中选 2 个，与 0 一起排列在后三位，有 ${\text{C}}_3^2\cdot {\text{A}}_3^3=18$ 种。此时 0 已被使用，千位可以从剩下的 4 个非零数字中任选 1 个，共有 $18\times 4=72$ 个四位数。
• 若后三位中不包含 0：后三位从 $2,4,6$ 中选并全排列，有 ${\text{A}}_3^3=6$ 种。此时 0 未被使用，千位从剩下的 4 个数字（含0）中选出一个非零数字，有 3 种选择，共有 $6\times 3=18$ 个四位数。
• 此大类合计：$72+18=90$ 个。

第二大类：后三位数字为 1 个偶数和 2 个奇数

• 若后三位中的偶数是 0：从 3 个奇数中选 2 个，与 0 一起排列在后三位，有 ${\text{C}}_3^2\cdot {\text{A}}_3^3=18$ 种。此时 0 已被使用，千位从剩下的 4 个非零数字中任选 1 个，共有 $18\times 4=72$ 个四位数。
• 若后三位中的偶数不是 0（即源于 $2,4,6$）：从 $2,4,6$ 中选 1 个，从 3 个奇数中选 2 个，全排列在后三位，有 ${\text{C}}_3^1\cdot {\text{C}}_3^2\cdot {\text{A}}_3^3=3\times 3\times 6=54$ 种。此时 0 未被使用，千位从剩下的 4 个数字（含0）中选出一个非零数字，有 3 种选择，共有 $54\times 3=162$ 个四位数。
• 此大类合计：$72+162=234$ 个。

根据分类加法计数原理，满足条件的四位数共有： $90+234=324$ 答案为：324

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：排列组合综合应用、有特殊元素（数字0）和特殊位置（最高位）的计数问题。

2. 核心方法：元素/位置优先分类法、奇偶分析法。

3. 避坑指南：容易混淆奇偶数相加的性质（奇数个奇数相加为奇，偶数个奇数相加为偶）；在填千位数字时，若 0 尚未被后三位使用，必须扣除 0 的选法，避免组成“伪四位数”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于传统排列组合中“组数问题”的升级版，通过增加局部位置数字和的奇偶性限制，考查考生的分类讨论严密性。

2. 结论推广: 若千位固定分类（奇数或非零偶数），则后三位的填充可以直接根据剩余元素的奇偶分布采用插空或直接排列，从而形成更快的统一算式：${\text{A}}_3^1({\text{A}}_4^3+{\text{C}}_4^1{\text{C}}_2^2{\text{A}}_3^3)+{\text{A}}_3^1({\text{A}}_3^3+{\text{C}}_3^1{\text{C}}_3^2{\text{A}}_3^3)=144+180=324$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷理-08 单-排列组合
• 2012-辽宁卷理-05 单-排列组合
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用