2009-安徽卷理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数运算、复数的相等条件。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） $\text{i}$ 是虚数单位，若 $\frac{1+7\text{i}}{2-\text{i}}=a+b\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$，则乘积 $ab$ 的值是 ()

A. -15　　　　　　　B. -3　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 15

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子与分母同乘分母的共轭复数 $2+\text{i}$，进行分母实数化。
2. 将结果化简为 $a+b\text{i}$ 的形式，对应求出 $a$ 和 $b$ 的值。
3. 计算乘积 $ab$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：对已知复数进行分母实数化变形： $\frac{1+7\text{i}}{2-\text{i}}=\frac{(1+7\text{i})(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})}=\frac{2+\text{i}+14\text{i}+7{\text{i}}^2}{4-{\text{i}}^2}$ 将 ${\text{i}}^2=-1$ 代入分子分母中化简： $\frac{1+7\text{i}}{2-\text{i}}=\frac{2+15\text{i}-7}{4-(-1)}=\frac{-5+15\text{i}}{5}=-1+3\text{i}$ 因为 $\frac{1+7\text{i}}{2-\text{i}}=a+b\text{i}(a,b\in \mathbf{R})$， 根据复数相等的条件，对应实部与虚部相等，得 $a=-1,b=3$。 所以乘积 $ab=-1\times 3=-3$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的性质 ${\text{i}}^2=-1$；复数除法（共轭因式实数化）。
2. 核心方法：共轭相乘法。
3. 避坑指南：分子在交叉相乘时，注意 $7\text{i}\times \text{i}=7{\text{i}}^2=-7$，极易因符号看错算成 $+7$ 导致结果偏离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材复数代数运算的基础必修习题，属于高考第 1 题的标配基础题型。
2. 结论推广：对于复数分式 $\frac{x_1+y_1\text{i}}{x_2+y_2\text{i}}$，其分母实数化的通用代数结构公式为 $\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+(x_2{y}_1-x_1{y}_2)\text{i}}{x_2^2+y_2^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-19 解-复数运算
• 2011-上海卷理-19 解-复数
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算