2009-安徽卷理-02 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、分式不等式的解法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 若集合 $A=\{x\mid |2x-1|<3\}$， $B=\left\{x\mid \frac{2x+1}{3-x}<0\right\}$，则 $A\cap B$ 是 ()

A. $\left\{x\mid -1<x<-\frac{1}{2}\text{ 或 }2<x<3\right\}$　　　　　　B. $\{x\mid 2<x<3\}$

C. $\left\{x\mid -\frac{1}{2}<x<2\right\}$　　　　　　　　　　　　　　D. $\left\{x\mid -1<x<-\frac{1}{2}\right\}$

🔍【思路分析】

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1. 解不等式 $|2x-1|<3$ 确定集合 $A$ 的取值区间。
2. 将分式不等式 $\frac{2x+1}{3-x}<0$ 转化为整式不等式 $(2x+1)(x-3)>0$ 确定集合 $B$ 的取值区间。
3. 利用数轴求两个区间集合的交集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：对于集合 $A$： 由 $|2x-1|<3$ 得： $-3<2x-1<3⟹-2<2x<4⟹-1<x<2$ 所以 $A=\{x\mid -1<x<2\}$。

对于集合 $B$： 由 $\frac{2x+1}{3-x}<0$ 可等价转化为： $(2x+1)(3-x)<0⟹(2x+1)(x-3)>0$ 解得 $x<-\frac{1}{2}$ 或 $x>3$。 所以 $B=\left\{x\mid x<-\frac{1}{2}\text{ 或 }x>3\right\}$。

利用数轴求交集 $A\cap B$： 因为 $-1<x<2$ 且 $x<-\frac{1}{2}$，其公共部分为 $-1<x<-\frac{1}{2}$。 故 $A\cap B=\left\{x\mid -1<x<-\frac{1}{2}\right\}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式化去符号规律；分式不等式不等号同号乘积化简；集合交集基本概念。
2. 核心方法：数轴分析法。
3. 避坑指南：在解分式不等式 $\frac{2x+1}{3-x}<0$ 时，极易由于忽略分母中 $x$ 的负号而直接写成 $-\frac{1}{2}<x<3$，务必先把 $3-x$ 调整为 $x-3$ 进而改变不等号方向，以保证穿根法的准确度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中集合的基本运算与一元二次不等式章节的经典融合基础练习题。
2. 结论推广：分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}<0$ 恒与整式因式不等式 $f(x)\cdot g(x)<0(g(x)\ne 0)$ 保持同解性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2011-上海卷文-01 填-集合补集
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式