2009-安徽卷理-04 单-对数

本题导读

本题考查充分必要条件的判定、不等式的基本性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 下列选项中， $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件的是 ()

A. $p:a+c>b+d,q:a>b$ 且 $c>d$

B. $p:a>1,b>1,q:f(x)=a^x-b(a>0,\text{ 且 }a\ne 1)$ 的图象不过第二象限

C. $p:x=1,q:x^2=x$

D. $p:a>1,q:f(x)={\log }_{a}x(a>0,\text{ 且 }a\ne 1)$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数

🔍【思路分析】

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1. 依据题意， $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件等价于： $q⟹p$ 为真命题，且 $p⟹q$ 为假命题。
2. 逐项分析各选项中命题 $p$ 与 $q$ 的推出关系，寻找满足 $q⟹p$ 且 $p/⟹q$ 的选项。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 对于 (A) 项：若 $a>b$ 且 $c>d$，根据不等式的同向可加性，必有 $a+c>b+d$，即 $q⟹p$ 成立；反之，若 $a+c>b+d$，取 $a=5,c=1,b=2,d=2$，满足 $5+1>2+2$，但此时 $c>d$ 不成立，即 $p/⟹q$。所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，符合题意。
• 对于 (B) 项：若 $f(x)=a^x-b$ 的图象不过第二象限，由于当 $x\to -\infty$ 时，若 $a>1$ 则 $a^x\to 0$，此时必有 $-b\le 0⟹b\ge 0$；又 $f(0)=1-b\le 0⟹b\ge 1$。由此可得 $q$ 对应的条件包含 $b\ge 1$。而 $p$ 为 $b>1$，此时 $p⟹q$ 成立但 $q/⟹p$，即 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，不符题意。
• 对于 (C) 项：由 $x=1⟹x^2=x$ 成立，而 $x^2=x⟹x=1$ 或 $x=0$，所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，不符题意。
• 对于 (D) 项：根据对数函数的底数性质， $a>1⟺f(x)={\log }_{a}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上为增函数，即 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，不符题意。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：必要不充分条件的代数特征（$q\subseteq p$ 且 $q\ne p$）。
2. 核心方法：反例推翻法（对于判断不出来的方向，构造一组合理的特值即可证明不成立）。
3. 避坑指南：分清“ $p$ 是 $q$ 的必要条件”是指由 $q$ 往外推 $p$（$q⟹p$），很多学生容易在推导方向上发生颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中常用逻辑用语与初等函数性质交汇的经典考查模型。
2. 结论推广：对于条件关系，若集合 $P=\{x\mid p(x)\}$, $Q=\{x\mid q(x)\}$，则 $P\supseteq Q$ 且 $P\ne Q$ 等价于 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性