2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性

本题导读

本题考查指数型函数的单调性，以及分类讨论。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=a\cdot 2^x+b\cdot 3^x$，其中常数 $a$，$b$ 满足 $a\cdot b\ne 0$.

(1) 若 $a\cdot b>0$，判断函数 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $a\cdot b<0$，求 $f(x+1)>f(x)$ 时的 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：(1) 按 $a,b$ 同号分两类作差
2. 步骤2：(2) 化为 $a\cdot 2^x+2b\cdot 3^x>0$
3. 步骤3：按 $a$ 的符号分离 $(\frac{2}{3}{)}^x$

✅【答案】

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(1) $a>0$，$b>0$ 时 $f(x)$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递增；$a<0$，$b<0$ 时单调递减

(2) $a>0$，$b<0$ 时 $x<{\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$；$a<0$，$b>0$ 时 $x>{\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 任取 $x_1<x_2$，$f(x_2)-f(x_1)=a(2^{x_2}-2^{x_1})+b(3^{x_2}-3^{x_1})$。

当 $a>0$，$b>0$ 时两正项相加为正，$f$ 递增；当 $a<0$，$b<0$ 时两项均为负，$f$ 递减。

(2) $f(x+1)-f(x)=a\cdot 2^x+2b\cdot 3^x$，条件即 $a\cdot 2^x>-2b\cdot 3^x$。

当 $a>0$，$b<0$ 时，$-2b>0$，两边同除 $a$：${\left(\frac{2}{3}\right)}^x>\frac{-2b}{a}$。由 $\frac{2}{3}<1$，得 $x<{\log }_{\frac{2}{3}}\frac{-2b}{a}={\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$。

当 $a<0$，$b>0$ 时，同除以 $a$（不等号反向）：${\left(\frac{2}{3}\right)}^x<\frac{-2b}{a}$，得 $x>{\log }_{\frac{2}{3}}\frac{-2b}{a}={\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$。

（换底：${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{-2b}{a}={\log }_{\frac{3}{2}}\frac{a}{-2b}={\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$。）

★ 注：合集短答案将两情形的方向印反，此处按复算与多源解析取正。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数单调性；作差比较；含参不等式的分类求解

核心方法：作差因式分解出 $2^{x_2}-2^{x_1}>0$ 的公因式；解不等式时按除数的符号定方向，最后换底统一

避坑指南：(2) 除以 $a$ 时若 $a<0$ 必须反向；${\log }_{\frac{2}{3}}\frac{-2b}{a}$ 与 ${\log }_{\frac{3}{2}}\left(-\frac{a}{2b}\right)$ 是同一个数（真数互倒、底数互倒），换算时符号别乱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数型函数单调性与含参不等式题与 2012-浙江卷文-10、2011-北京卷文-18、2014-陕西卷文-07 同族。

结论推广：推广：$f(x)=a\cdot m^x+b\cdot n^x$（$m,n>1$）满足 $f(x+1)-f(x)=a\cdot m^x(m-1)+b\cdot n^x(n-1)$；同号时保号、异号时有一个临界点。

方法推广：含参指数不等式：先把 $f(x+1)-f(x)$ 化成 $A\cdot 2^x+B\cdot 3^x$，再统一成 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ 与常数比较，分类只在”$a$ 的符号”处发生。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值
• 2014-陕西卷文-07 单-指数函数性质