2009-安徽卷理-05 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的性质、等差数列前n项和的最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列， $a_1+a_3+a_5=105,a_2+a_4+a_6=99$.以 $S_n$ 表示 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n$ 达到最大值的 $n$ 是 ()

A. 21　　　　　　　B. 20　　　　　　　C. 19　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

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1. 利用等差数列的性质，将已知等式转化为关于中项 $a_3$ 和 $a_4$ 的方程，求出其具体数值。
2. 求解出公差 $d=a_4-a_3$，进而写出通项公式 $a_n$。
3. 由于公差 $d<0$，数列递减， $S_n$ 达到最大值对应的 $n$ 应当是数列中最后一个非负项的项数，令 $a_n⩾0$ 求解即可。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：根据等差数列的性质与求和特征： $a_1+a_3+a_5=3a_3=105⟹a_3=35$ $a_2+a_4+a_6=3a_4=99⟹a_4=33$ 所以等差数列的公差为： $d=a_4-a_3=33-35=-2$ 由此可求得通项公式 $a_n$： $a_n=a_3+(n-3)d=35-2(n-3)=41-2n$ 因为公差 $d=-2<0$，所以数列 $\{a_n\}$ 是递减数列。 要想使前 $n$ 项和 $S_n$ 达到最大，只需要把数列中的所有正项（及 0）全部相加即可。 令 $a_n⩾0⟹41-2n⩾0⟹n⩽20.5$。 因为 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，所以当 $n=20$ 时， $a_{20}=41-40=1>0$； 当 $n=21$ 时， $a_{21}=41-42=-1<0$。 因此，使得 $S_n$ 达到最大值的 $n$ 是 20。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项性质 $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$；递减数列前 $n$ 项和最值点的判定条件。
2. 核心方法：邻项符号临界法。
3. 避坑指南：求得 $n\le 20.5$ 后，部分学生由于公式记忆混淆，误以为最值点在 21 处。切记，当 $a_{21}<0$ 时，加上这一项反而会使总和减小。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中等差数列前 $n$ 项和最值应用的标准母题。
2. 结论推广：若等差数列首项 $a_1>0$，公差 $d<0$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 的最值点可由一元二次函数对称轴 $\left(-\frac{a_1-\frac{d}{2}}{d}\right)$ 邻近的整数决定，其本质等价于 $a_n⩾0$ 的最大正整数解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-22 解-等差数列
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-大纲卷文-06 单-等差数列片段和