2009-安徽卷理-10 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与几何计数、正方体与正八面体的对偶结构。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ()

A. $\frac{1}{75}$　　　　　　B. $\frac{2}{75}$　　　　　　C. $\frac{3}{75}$　　　　　　D. $\frac{4}{75}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 空间 6 个中心点总共可以连成 ${\text{C}}_6^2=15$ 条不同的直线。由于甲、乙独立选择，总基本事件数为 $15\times 15=225$。
2. 分析这 15 条直线的空间相对位置：有 3 条是正方体相对面中心连线（体对角线型），它们相交于正方体中心，不产生平行线。
3. 剩下 12 条是相邻面中心连线（面对角线型/正八面体棱型）。利用空间坐标或几何直观将这 12 条线按照空间方向分组，找出每组内部相互平行的对数，最后代入古典概型公式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：正方体 6 个面的中心共有 6 个点。 从 6 个点中任选 2 个点连成一条直线，总共可以连成不重复的直线数为： $N={\text{C}}_6^2=15\text{ 条}$ 因为甲、乙两人各自独立抽取一条直线，所以总的基本事件数为： $\Omega =15\times 15=225\text{ 种}$

为了研究平行的组合，我们对这 15 条直线进行几何分类：

1. 第一类：相对面中心连线 正方体有 3 对相对的面，对应的中心连线有 3 条。这 3 条直线两两相交于正方体的中心，彼此之间不存在任何平行关系。
2. 第二类：相邻面中心连线 剩下的 $15-3=12$ 条直线均由相邻面的中心连线构成（这 12 条线段正好构成了以这 6 个中心为顶点的正八面体的 12 条棱）。 在正方体的空间结构中，这 12 条直线按照空间走向（方向向量）可以精确地分为 6 组，每组包含 2 条互相平行的直线（对应正八面体中 6 对相对的平行棱）。

设其中一组平行的直线为 $L_1$ 和 $L_2$。要满足“两直线相互平行但不重合”，有以下 2 种成功的抽取方式：

• 甲抽到 $L_1$，乙抽到 $L_2$；
• 甲抽到 $L_2$，乙抽到 $L_1$。 因为一共有 6 组这样的平行对，所以满足条件的总抽取种数为： $m=6\times 2=12\text{ 种}$

根据古典概型公式，所得两直线平行但不重合的概率为： $P=\frac{m}{\Omega }=\frac{12}{225}=\frac{4}{75}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型中总事件数的独立乘积形式；正方体内部隐藏的正八面体结构特征。
2. 核心方法：空间几何特征分组计数法。
3. 避坑指南：容易把甲乙两人选线当成“组合抽样”而将总数错算为 ${\text{C}}_{15}^2$，注意甲乙是两个独立的个体，先后抽取具有顺序性，故分母必须是 $15\times 15$；同时要注意排除重合（即甲乙抽到同一条线）的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中立体几何多面体性质与概率计数章节的进阶交汇压轴小题，考查空间想象力。
2. 结论推广：正方体 6 个面中心构成的多面体为正八面体。正八面体的 12 条棱中，相对的棱两两平行，共构成 6 对空间平行线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-15 解-列举法与古典概型
• 2011-山东卷文-18 解-古典概型
• 2011-广东卷文-17 解-标准差与古典概型